Question

【題目】已知：是等腰直角三角形，動(dòng)點(diǎn)在斜邊所在的直線上，以為直角邊作等腰直角三角形，其中，探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點(diǎn)在線段上，且，，則：

①長為 ；的長為 ；

②猜想：，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ；

（2）如圖②，若點(diǎn)在的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論依然成立，請(qǐng)你利用圖②給出證明過程；

（3）若動(dòng)點(diǎn)滿足，求的值．（提示：請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求）

Answer 1

【答案】（1）①，；②AP2+BP2=PQ2；（2）證明見詳解；（3）的值為或.

【解析】

（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的長，然后根據(jù)PA的長，可求得PB的長，再利用SAS證明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ為直角三角形，依據(jù)勾股定理求出PQ=，即可得到PC；

②過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由△ACB為等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根據(jù)AP=DC-PD，PB=DC+PD，可證明AP2+BP2=2PC2，因?yàn)樵?/span>Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則可證明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫出圖形，然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長度即可．

解：（1）如圖①．連接BQ，

①△ABC是等腰直角三角形，AC=3，

∴AB=，

∵PA=，

∴PB=，

∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，

∴△APC≌△BQC（SAS）．

∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ為直角三角形．

∴PQ=．

∵，

∴；

故答案為：，；

②如圖①．過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DCPD+PD2，

PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2；

故答案為：AP2+BP2=PQ2；

（2）如圖②：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ為等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2；

（3）如圖③：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

①點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)．

∵，

∴P1A＝AB＝．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2處時(shí)．

∵，

∴P2A＝AB＝CD．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：

，

∴；

綜合上述，的值為：或.