【題目】如圖,已知等邊△ABC,點D在直線BC上,連接AD,作∠ADN=60°,直線DN交射線AB于點E,過點C作CF∥AB交直線DN于點F.
(1)當(dāng)點D在線段BC上,∠NDB為銳角時,如圖①.
①判斷∠1與∠2的大小關(guān)系,并說明理由;
②過點F作FM∥BC交射線AB于點M,求證:CF+BE=CD;
(2)①當(dāng)點D在線段BC的延長線上,∠NDB為銳角時,如圖②,請直接寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系;
②當(dāng)點D在線段CB的延長線上,∠NDB為鈍角或直角時,如圖③,請直接寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①∠1=∠2,理由見解析,②證明見解析;(2)①BE=CD+CF,②CF=CD+BE.
【解析】
(1)①由等邊三角形的性質(zhì)和∠ADN=60°,易得∠1+∠ADC=120°,∠2+∠ADC=120°,所以∠1=∠2;
②由條件易得四邊形BCFM為平行四邊形,得到BM=CF,BC=MF,再證明△MEF≌△CDA,得到ME=CD,利用等量代換即可得證;
(2)①過F作FH∥BC,易得四邊形BCFH為平行四邊形,可得HF=BC,BH=CF,然后證明△EFH≌△DAC,得到CD=EH,利用等量代換即可得BE=CD+CF;
②過E作EG∥BC,易得四邊形BCGE為平行四邊形,可得EG=BC,BE=CG,然后證明△EFG≌△ADC,得到CD=FG,利用等量代換即可得CF=CD+BE.
(1)①∠1=∠2,理由如下:
∵△ABC為等邊三角形
∴∠ACB=60°
∴∠2+∠ADC=120°
又∵∠AND=60°
∴∠1+∠ADC=120°
∴∠1=∠2
②∵MF∥BC,CF∥BM
∴四邊形BCFM為平行四邊形
∴BM=CF,BC=MF=AC,
∵BC∥MF
∴∠1=∠EFM=∠2,∠EMF=∠ABC=60°
在△MEF和△CDA中,
∵∠EFM=∠2,MF= AC,∠EMF=∠ACD=60°
∴△MEF≌△CDA(ASA)
∴ME=CD
∴ME=BM+BE=CF+BE=CD
即CF+BE=CD
(2)①BE=CD+CF,證明如下:
如圖,過F作FH∥BC,
∵CF∥BH,FH∥BC,
∴四邊形BCFH為平行四邊形
∴HF=BC=AC,BH=CF
∵△ABC為等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠CAD+∠ADC=60°,∠DBE=120°,∠ACD=120°
又∵∠AND=60°,即∠BDN+∠ADC=60°
∴∠CAD=∠BDN
∵BD∥HF
∴∠HFE=∠BDN=∠CAD,∠EHF=∠ACD=120°
在△EFH和△DAC中,
∵∠EHF=∠ACD,HF=AC,∠HFE=∠CAD
∴△EFH≌△DAC(ASA)
∴EH=CD
∴BE=BH+EH=CF+CD
即BE=CD+CF;
②CF=CD+BE,證明如下:
如圖所示,過E作EG∥BC,
∵EG∥BC,CG∥BE
∴四邊形BCGE為平行四邊形,
∴EG=BC=AC,BE=CG,
∵∠AND=60°,∠ACD=60°
∴∠ADC+∠CDE=120°,∠ADC+∠DAC=120°
∴∠CDE=∠DAC
又∵CD∥EG
∴∠GEF=∠CDE=∠DAC,∠EGF=∠DCF
∵AE∥CF
∴∠DCF=∠ABC=60°
∴∠EGF=∠ABC=60°
在△EFG和△ADC中,
∵∠GEF=∠DAC,EG=AC,∠EGF=∠ACD=60°
∴△EFG≌△ADC(ASA)
∴FG=CD
∴CF=CG+FG=BE+CD
即CF=CD+BE
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.如果點M是OP的中點,則DM的長是( )
A. 2 B. C. D. 2
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【題目】如圖,是正內(nèi)一點,,,,將線段以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接,下列結(jié)論:①可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到:②點與的距離為4;③;④四邊形;⑤.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
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【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABCD在第一象限,且AB∥x軸.直線y=-x從原點出發(fā)沿x軸正方向平移,在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度l與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖②,那么平行四邊形ABCD的面積為()
A.4B.C.D.8
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【題目】已知a、b、c是等腰三角形ABC的三條邊的長,其中a=3,如果b、c是關(guān)于x的一元ニ次方程-9+m=0的兩個根,求m的値.
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【題目】已知:是等腰直角三角形,動點在斜邊所在的直線上,以為直角邊作等腰直角三角形,其中,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點在線段上,且,,則:
①長為 ;的長為 ;
②猜想:,,三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,若點在的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論依然成立,請你利用圖②給出證明過程;
(3)若動點滿足,求的值.(提示:請利用備用圖進行探求)
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【題目】閱讀下列兩段材料,回答問題:
材料一:點,的中點坐標(biāo)為.例如,點,的中點坐標(biāo)為,即
材料二:如圖1,正比例函數(shù)和的圖象相互垂直,分別在和上取點、使得分別過點作軸的垂線,垂足分別為點.顯然,,設(shè),,則,..于是,所以的值為一個常數(shù),一般地,一次函數(shù),可分別由正比例函數(shù)平移得到.
所以,我們經(jīng)過探索得到的結(jié)論是:任意兩個一次函數(shù),的圖象相互垂直,則的值為一個常數(shù).
(1)在材料二中,=______(寫出這個常數(shù)具體的值)
(2)如圖2,在矩形中,點是中點,用兩段材料的結(jié)論,求點的坐標(biāo)和的垂直平分線的解析式;
(3)若點與點關(guān)于對稱,用兩段材料的結(jié)論,求點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點E、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和AD上(E、F都不與兩端點重合),連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點G,DE和CF交于點H.令,.若,則圖中有_______個平行四邊形(不添加別的輔助線);若,且四邊形ABCD的面積為28,則四邊形FGEH的面積為_______.
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