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【題目】如圖,直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點,拋物線經過點B,與直線y=x-3交于點E(8,5),且與x軸交于C,D兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上有一點M,當∠MBE=75°時,求點M的橫坐標;

(3)點P在拋物線上,在坐標平面內是否存在點Q,使得以點P,Q,B,C為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在矩形,

【解析】

(1)直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點,則A(3,0)B(0,-3),把B、E點坐標代入二次函數方程,解得:拋物線的解析式y=x2-x-3…①;
(2)當∠MBE=75°時,如下圖所示,分Mx軸上和x軸下分別求解即可;
(3)存在①當BC為矩形對角線時,矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示,設:P′(m,n),n=-m2-m-3…③,
P′C所在直線的k1=,P′B所在的直線k2=,則:k1k2=-1即可求解,②當BC為矩形一邊時,矩形BCQP所在的位置如圖所示,直線BC所在的方程為:y=-x-3,則:直線BPk-2,所在的方程為y=-2x-3…⑤,
聯立①⑤解得點P(-4,5),則Q(2,8),即可求解.

:(1)直線y=x-3與坐標軸交于A、B兩點,
A(3,0)B(0,-3),
B、E點坐標代入二次函數方程,解得:
拋物線的解析式y=x2-x-3…①,
則:C(6,0);
(2)符合條件的有MM′,如下圖所示,

當∠MBE=75°時,
∵OA=OB,∴∠MBO=30°,
此時符合條件的M只有如圖所示的一個點,
MB直線的k-,所在的直線方程為:y=-x-3…②,
聯立方程①、②可求得:x=4-4
即:點M的橫坐標4-4;
當∠M′BE=75°時,∠OBM′=120°,
直線MBk值為-,其方程為y=-x-3,
MB所在的方程與拋物線表達式聯立,
解得:x=,
故:即:點M的橫坐標4-4
(3)存在.

①當BC為矩形對角線時,矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示,
設:P′(m,n),
n=-m2-m-3…③,
P′C所在直線的k1=,
P′B所在的直線k2=,則:k1k2=-1…④,
③、④聯立解得:m=2,則P′(2,3-2),
Q′(6-2,2-3);
②當BC為矩形一邊時,
情況一:矩形BCQP所在的位置如圖所示,
直線BC所在的方程為:y=x-3,
則:直線BPk-2,所在的方程為y=-2x-3…⑤,
聯立①⑤解得點P(-4,5),
Q(2,8),
情況二:矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示,
此時,P″在拋物線上,其指標為:(-10,32)..
故:存在矩形,點Q的坐標為:(6-2,2-3)或(2,8)或(-10,32).

練習冊系列答案
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長為 ;的長為 ;

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所以,我們經過探索得到的結論是:任意兩個一次函數的圖象相互垂直,則的值為一個常數.

1)在材料二中,=______(寫出這個常數具體的值)

2)如圖2,在矩形,點中點,用兩段材料的結論,求點的坐標和的垂直平分線的解析式;

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②如圖2,S,G,RH分別為OC,OMMN,NC上一點,SR,HG交于點D.若∠SDG135°,則RS______;

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