【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸相交于、,交軸于點(diǎn),點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn).
⑴.求拋物線的解析式;
⑵.如圖1,連接,點(diǎn)是線段上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),于點(diǎn);過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn).點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng) 取最大值時(shí).
①.求的最小值;
②.如圖2,點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫出的最小值.
【答案】(1);(2)①;②
【解析】
(1)直接利用待定系數(shù)法,把A,B兩點(diǎn)代入解析式即可求出.
(2)利用配方法求出M點(diǎn),求出直線AM的解析式,從而可以得出經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且與直線AM平行的直線 解析式,再根據(jù)當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),EF取最大值,利用根的判別式可求出E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)當(dāng)P,B,D三點(diǎn)共線時(shí),PD+PC有最小值,利用勾股定理即可求出.
(3)利用添加輔助線,對(duì)線段OQ進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再根據(jù)三點(diǎn)共線求出最小值.
1)將A(-3,0)、B(1,0)代入二次函數(shù)得,
解之得,∴二次函數(shù)的解析式為;
(2)①將二次函數(shù)配方得,
∴M(-1,4)
設(shè)直線AM的解析式為,將代入直線可得,
解得,
∴直線AM的解析式為,
過(guò)E作直線,平行于直線AM,且解析式為,
∵E在直線AM上方的拋物線上,
∴;
當(dāng)直線與AM距離最大時(shí),EF取得最大值,
∴當(dāng)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),EF取得最大值,
將直線的解析式代入拋物線得,
由題意可得,△=,經(jīng)計(jì)算得,將代入二次方程可得,
,
∴,即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,將代入拋物線得,
∴,
又∵⊥軸,
∴,將代入直線AM,
∴,
∵,
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,
∴,
∴,當(dāng)P、B、D三點(diǎn)不共線時(shí),
當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí),,
∴當(dāng)P、B、D三點(diǎn)共線時(shí)PC+PD取得最小值,
在Rt△BHD中。DH=2,BH=3,∴BD=,
∴的最小值為;
②過(guò)Q作直線平行于軸,并在軸右側(cè)該直線上取一點(diǎn)G,使得,
QG=,
∴,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),
DQ+QG取得最小值,設(shè)Q(0,y),則,
∵QG∥軸,
∴,
∴,
∴的最小值為.
【點(diǎn)晴】
本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用,利用待定系數(shù)求解析式,根的判別式求點(diǎn)的坐標(biāo),利用三點(diǎn)共線求最值的問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,,反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則S△OAC-S△BAD=( )
A.1.5B.2.5C.3D.1
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CQ∥DB,且CQ=DP,連接AP、BQ、PQ.
(1)求證:△APD≌△BQC;
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求證:四邊形ABQP為菱形.
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【題目】如圖是某小型汽車的側(cè)面示意圖,其中矩形ABCD表示該車的后備箱,在打開(kāi)后備箱的過(guò)程中,箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是50度時(shí),箱蓋落在的位置(如圖2),已知
(1)求點(diǎn)到的距離;(結(jié)果保留整數(shù))
(2)求兩點(diǎn)之間的距離.(結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】如圖, 直線與軸交于點(diǎn),與雙曲線 在第三象限交于兩點(diǎn),且 ;下列等邊三角形,,,……的邊,,,……在軸上,頂點(diǎn)……在該雙曲線第一象限的分支上,則= ____,前25個(gè)等邊三角形的周長(zhǎng)之和為 _______.
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【題目】閱讀材料解答下列問(wèn)題
觀察下列方程:①,②,③……
⑴按此規(guī)律寫出關(guān)于x的第n個(gè)方程為____________________,此方程的解為____________.
⑵根據(jù)上述結(jié)論,求出的解.
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【題目】隨著“微信運(yùn)動(dòng)”被越來(lái)越多的人關(guān)注和喜愛(ài),某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我區(qū)50名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表(不完整):
步數(shù) | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<4000 | 8 | 0.16 |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | a |
12000≤x<16000 | b | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | 2 | 0.04 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)寫出a,b的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)我市約有5000名教師,用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過(guò)12000步(包含12000步)的教師有多少名?
(3)若在50名被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過(guò)16000步(包含16000步)的兩名教師與大家分享心得,用樹(shù)形圖或列表法求被選取的兩名教師恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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【題目】據(jù)調(diào)查:超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小明用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上車輛進(jìn)行測(cè)速,如圖所示,觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD=200m,檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60°方向上,終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45°方向上,一輛轎車由東向西勻速行駛,測(cè)得此車由A處行駛到B處時(shí)的時(shí)間為10s,問(wèn)此車是否超過(guò)了該路段10m/s的限制速度?(觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì),參專數(shù)據(jù):1.41,1.73)
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【題目】如圖,點(diǎn)O在的邊上,以為半徑作,的平分線交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E.
(1)尺規(guī)作圖(不寫作法,保留作圖痕跡),補(bǔ)全圖形;
(2)判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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