Question

8．已知，拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8的圖象經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，如圖①所示，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動點(diǎn)．
（1）試判斷△ABC的形狀，并給予證明；
（2）如圖①，連接AD，點(diǎn)G是拋物線上A，C之間的一動點(diǎn)，直線BG交AD于點(diǎn)P，連接PE，當(dāng)BP+PE的值最小時，求出BP+PE的最小值，并求出此時點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動時，拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理可求得AC、AB和BC的長，可判斷△ABC的形狀；
（2）由（1）可知AB=AC，則可知PB=PC，則可知PB+PE=PC+PE，則可知P、C、E三點(diǎn)共線，要使PC+PE最小，則PE⊥AB，即O與點(diǎn)E重合，可求得其最小值，過G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，由△COB∽△AOP可求得OP，再由PO∥GH，根據(jù)平行線分線段成比例可求得GH，即求得G點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由題意可知CD只能為平行四邊形的邊，過D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)M，由條件可證得△CDN≌△FME，可求得FM的長，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8中，令x=0可得y=8，
∴C（0，8），則OC=8，
令y=0，可得-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=0，解得x=-6或x=4，
∴A（-6，0），B（4，0），
∴AO=6，BO=4，
∴AB=10，
在Rt△AOC中，可求得AC=10，在Rt△BOC中，可求得BC=4$\sqrt{5}$，
∴AB=AC≠BC，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）由（1）可知△ABC為等腰三角形，且D為BC的中點(diǎn)，
∴AD為線段BC的垂直平分線，
∴BP=PC，
∴BP+PE=PC+PE，
要使其最小則P、C、E三點(diǎn)共線，
∴BP+PE=CE
要使CE最小，則CE⊥AB，此時點(diǎn)O與點(diǎn)E重合，
∴BP+PE=OC=8，即BP+PE的最小值為8，
如圖1，過G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)G（x，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8），則可知x＜0，
∴BH=4-x，GH=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，

∵∠DPO+∠DBO=∠APO+∠DPO=180°，
∴∠APO=∠CBO，且∠AOP=∠COB=90°，
∴△AOP∽△COB，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{6}{8}$=$\frac{OP}{4}$，解得OP=3，
∵GH∥OP，
∴$\frac{OP}{GH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{3}{-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+8}$=$\frac{4}{4-x}$，解得x=4（舍去）或x=-$\frac{15}{4}$，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{15}{4}$，$\frac{93}{16}$）；
（3）由題意可知CD只能為平行四邊形的邊，過D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)M，如圖2，

∵D為中點(diǎn)，DN∥OB，
∴N為OC中點(diǎn)，
∴CN=$\frac{1}{2}$OC=4，
由平行四邊形的性質(zhì)可知CD=EF，且CD∥EF，
∴∠FEM=∠OBC=∠CDN，
在△CND和△FME中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠FEM}\\{∠CND=∠FME=90°}\\{CD=EF}\end{array}\right.$
∴△CND≌△FME（AAS），
∴FM=CN=4，
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4或-4，
∵y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+$\frac{25}{3}$，
∴拋物線對稱軸為x=-1，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）或（-1，-4），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，其坐標(biāo)為（-1，4）或（-1，-4）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等知識．在（1）中求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出PB+PE最小時E點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得F點(diǎn)到x軸的距離是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．