Question

【題目】如圖，已知點D在反比例函數(shù)y= 的圖象上，過點D作x軸的平行線交y軸于點B（0，3）．過點A（5，0）的直線y=kx+b與y軸于點C，且BD=OC，tan∠OAC= ．

（1）求反比例函數(shù)y= 和直線y=kx+b的解析式；
（2）連接CD，試判斷線段AC與線段CD的關(guān)系，并說明理由；
（3）點E為x軸上點A右側(cè)的一點，且AE=OC，連接BE交直線CA與點M，求∠BMC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（5，0），

∴OA=5．

∵ ，

∴ ，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），

∴BD=OC=2，

∵B（0，3），BD∥x軸，

∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴ ，

設(shè)直線AC關(guān)系式為y=kx+b，

∵過A（5，0），C（0，﹣2），

∴ ，解得 ，

∴ ；

（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），

∴BC=5=OA，

在△OAC和△BCD中

∴△OAC≌△BCD（SAS），

∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD；

（3）解：∠BMC=45°．

如圖，連接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，

∴BD∥x軸，

∴四邊形AEBD為平行四邊形，

∴AD∥BM，

∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，

∴AC=CD，

∵AC⊥CD，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=45°．

【解析】（1）由正切定義可求C坐標，進而由BD=OC求出D坐標，求出 反比例函數(shù)解析式；由A、C求出直線解析式；（2）由條件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，進而AC⊥CD；（3） 由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四邊形AEBD為平行四邊形，推出 △OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD為等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.
【考點精析】本題主要考查了比例系數(shù)k的幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積才能正確解答此題．