【題目】已知反比例函數(shù)的圖象與直線相交于第一象限、的兩點(diǎn).如圖所示,過(guò)兩點(diǎn)分別作、軸的垂線,線段相交與,給出以下結(jié)論:①;②四邊形是正方形;③若.則的面積是;點(diǎn)一定在直線上,其中正確命題的個(gè)數(shù)是幾個(gè)(

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

①先求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得出OEF是等腰直角三角形,故E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,再由反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,故可得出y=x是線段AB的垂直平分線,由此即可得出結(jié)論;
②根據(jù)AMy軸,BDy軸,ACx軸,BNx軸可得出四邊形ACOM與四邊形BDON均是長(zhǎng)方形,根據(jù)OA=OB可知AC=BD,故OC=OD,由此可得出結(jié)論;
③設(shè),則B,P(x,x),再由點(diǎn)A在直線y=-x+6上,求出x的值即可得出A點(diǎn)坐標(biāo),再由三角形的面積公式求解即可;
④根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知,OM=ON,再由AMy軸,ACx軸,BDy軸,BNx軸可知,四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形,由②知AM=BN,故OC=OD,所以AP=PB,所以點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,所以點(diǎn)P在直線y=x上.

①∵令x=0,則y=6,令y=0,則x=6,

E(0,6),F(6,0),

E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

y=x是線段AB的垂直平分線,

OA=OB,故①正確;

②∵AMy軸,BDy軸,ACx軸,BNx軸,

∴四邊形ACOM與四邊形BDON均是長(zhǎng)方形。

OA=OB,A.B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

AC=BD

OC=OD,

∴四邊形OCPD是正方形,故②正確;

③設(shè),則B,,P(x,x),

∵點(diǎn)A在直線y=x+6上,

解得

A(1,5),B(5,1),

BP=AP=51=4,

故③正確;

④∵點(diǎn)A.B關(guān)于直線y=x對(duì)稱,

OM=ON,

AMy軸,ACx軸,BDy軸,BNx軸,

∴四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形,

∵由②知AM=BN,

OC=OD

AP=PB,

∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,

∴點(diǎn)P在直線y=x上,故④正確.

故選:A.

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