Question

17．如圖1，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC∥弦AD，連接BD交AC于E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）如圖2，連AC交BD于E，若AE=CE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC=90°，只要證明△OCD≌△OCB即可．
（2）如圖2中，連接OC交BD于點M，連接OE，設EM=a，BM=2a，利用△EOM∽△EBO，得EO²=EM•EB，求出EO、EB即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接BD、OD，BD與OC交于點E．

∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD，ED=BE，
∵OD=OB，
∴∠DOC=∠BOC，
∵BC是⊙O切線，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
在△OCD和△OCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O切線．
（2）解：如圖2中，連接OC交BD于點M，連接OE，

∵AO=OB，AE=EC，
∴OE∥BC，OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，設EM=a，BM=2a，∠AOE=∠ABC=90°，
∵∠OEM=∠OEB，∠OME=∠EOB=90°，
∴△EOM∽△EBO，
∴EO²=EM•EB=a•3a
∴EO=$\sqrt{3}$a，
同理BO²=BM•BE=6a²，
∴BO=AO=$\sqrt{6}$a，
∵∠AEO=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠AEO=$\frac{AO}{OE}$=$\frac{\sqrt{6}a}{\sqrt{3}a}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質和判定、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角函數等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．