Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；
（3）若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，當平行四邊形CBPQ的面積為30時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的面積，可得BD的長，根據(jù)等腰直角三角形，可得E點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得PQ的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，將B（5，0），C（0，5）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+m=0}\\{m=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=5}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+5．
將B（5，0），C（0，5）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x²-6x+5；
（2）∵點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點，
∴設(shè)M（m，m²-6m+5）．
∵點N是直線BC上與點M橫坐標相同的點，
∴N（m，m+5）．
∵當點M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標總大于M的縱坐標．
∴MN=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$．
∴MN的最大值是$\frac{25}{4}$．
（3）如圖，
設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD，可求BC=5$\sqrt{2}$，
由平行四邊形CBPQ的面積為30可得，BC×BD=30，從而BD=3$\sqrt{2}$．
設(shè)直線PQ交x軸于E點，
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，△EBD為等腰直角三角形，BE=$\sqrt{2}$BD=6．
∵B（5，0），
∴E（-1，0）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+s，將E點坐標代入函數(shù)解析式，得
0=-（-1）+s，
解得s=-1，
從而直線PQ的解析式為y=-x-1．
聯(lián)立直線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-6x+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
故點P的坐標為（2，-3），（3，-4）．

點評 本題考察了二次函數(shù)綜合題，（2）利用平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；（3）利用等腰直角三角形得出E點坐標是解題關(guān)鍵．