Question

10．在△ABC中，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如圖2，連接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面積為16，求△ABA₁的面積；
②如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)是點(diǎn)P₁，直接寫(xiě)出線段EP₁長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）①由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面積；
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大，即可求得線段EP₁長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）依題意得：△A₁C₁B≌△ACB，
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°，
∴∠BC₁C=∠C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°；
（2）如圖2所示：
由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB，
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{{A}_{1}B}{{C}_{1}B}=\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A₁BA∽△C₁BC，
∴$\frac{{S}_{△{A}_{1}BA}}{{S}_{△{C}_{1}BC}}$=（$\frac{3}{4}$）²，
∵△CBC₁的面積為16，
∴△ABA₁的面積=9
（3）線段EP₁長(zhǎng)度的最大值為11，理由如下：
如圖3所示：當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大，
最大值為：EP₁=BC+BE=8+3=11．
即線段EP₁長(zhǎng)度的最大值為11．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及最大值問(wèn)題；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．