【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,0)和點(diǎn)B23),過(guò)點(diǎn)A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C,且tanCAO=

1)求這條拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸;

2)聯(lián)結(jié)ABBC,求∠ABC的正切值;

3)若點(diǎn)Dx軸下方的對(duì)稱軸上,當(dāng)SDBC=SADC時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】1y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸x=1;(2tan∠ABC=1;(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).

【解析】

1)把A3,0)和點(diǎn)B2,3)代入y=-x2+bx+c,解方程組即可解決問(wèn)題;
2)作BEOAE.只要證明△AOC≌△BEA,再推出△ABC是等腰直角三角形,即可解決問(wèn)題;
3)過(guò)點(diǎn)CCDAB交對(duì)稱軸于D,則SDBC=SADC,先求出直線AB的解析式,再求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題.

解:(1)把A30)和點(diǎn)B2,3)代入y=-x2+bx+c得到,

,解得,

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,

∴對(duì)稱軸為x=-=1

故拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸為x=1;

2)如圖,作BEOAE

A3,0),B23),tanCAO=,

OA=3OE=2,BE=3,∴AE=1,OC=OA×tanCAO=1,

BE=OA,AE=OC,

∵∠AEB=AOC=90°,

∴△AOC≌△BEA(SAS),

AC=AB,∠CAO=ABE

∵∠ABE+BAE=90°,

∴∠CAO+BAE=90°,

∴∠CAB=90°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ABC=45°,

tanABC=1;

3)如圖,過(guò)點(diǎn)CCDAB交對(duì)稱軸于D,則SDBC=SADC
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A3,0),B2,3)代入得,

,解得,∴直線AB的解析式為y=-3x+9

ABCD,設(shè)直線CD的解析式為y=-3x+m,將點(diǎn)C(0,-1)代入得,m=-1,

∴直線CD的解析式為y=-3x-1,當(dāng)x=1時(shí),y=-4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).

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