Question

【題目】如圖，拋物線過點A（，2），且與直線交于B、C兩點，點B的坐標(biāo)為（，m）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作DE⊥x軸交直線BC于點E，點P為對稱軸上一動點，當(dāng)線段DE的長度最大時，求PD+PA的最小值；

（3）設(shè)點M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點Q，使得∠AQM=45°？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PD+PA的最小值為；（3）Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．

【解析】

（1）將點B的坐標(biāo)為（-4，m）代入，，B的坐標(biāo)為（-4，），將A（-3，2），B（-4，）代入y=x2+bx+c，解得b=-1，c=，因此拋物線的解析式y=x2-x+；

（2）設(shè)D（m，m2-m+），則E（m，m+），DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=（m+2）2+2，當(dāng)m=-2時，DE有最大值為2，此時D（-2，），作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'，連接A'D，與對稱軸交于點P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此時PD+PA最小；

（3）作AH⊥對稱軸于點H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得AH=MH=2，H（-1，2）因為∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圓的圓心為H，于是QH=HA=HM=2設(shè)Q（0，t），則，t=2+或2-，求得符合題意的點Q的坐標(biāo)：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．

解：（1）將點B的坐標(biāo)為（-4，m）代入，得m=-4+=-，

∴B的坐標(biāo)為（-4，-），

將A（-3，2），B（-4，-）代入y=-x2+bx+c，

解得b=-1，c=，

∴拋物線的解析式y=x2-x+；

（2）設(shè)D（m，m2-m+），則E（m，m+），

DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=-（m+2）2+2，

∴當(dāng)m=-2時，DE有最大值為2，

此時D（-2，），

作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'，連接A'D，與對稱軸交于點P．

PD+PA=PD+PA'=A'D，此時PD+PA最小，

∵A（-3，2），

∴A'（1，2），

A'D=，

即PD+PA的最小值為；

（3）作AH⊥對稱軸于點H，連接AM、AQ、MQ、HA、HQ，

∵拋物線的解析式，

∴M（-1，4），

∵A（-3，2），

∴AH=MH=2，H（-1，2）

∵∠AQM=45°，∠AHM=90°，

∴∠AQM=∠AHM，

可知△AQM外接圓的圓心為H，

∴QH=HA=HM=2

設(shè)Q（0，t），

則，

解得，t=2+或2-

∴符合題意的點Q的坐標(biāo)：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．