Question

【題目】如圖，四邊形OABC為矩形，以點O為原點建立直角坐標(biāo)系，點C在軸的正半軸上，點A在軸的正半軸上，已知點B的坐標(biāo)為（2，4），反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過AB的中點D，且與BC交于點E.

（1）求的值和點E的坐標(biāo)；

（2）求直線DE的解析式；

（3）點Q為軸上一點，點P為反比例函數(shù)圖像上一點，是否存在點P、Q，使得以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形， 如果存在，請求出點P的坐標(biāo)； 如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=4，E（2，2）；（2）；（3）P（，）或（，）

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點B為（2，4），求得D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)中，即可求得m的值，令x＝2，即可求得E的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)D、E的坐標(biāo)應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得；
（3）分情況討論：當(dāng)DE是平行四邊形的邊時；當(dāng)DE是平行四邊形的對角線時，分別利用平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式求解即可．

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點B為（2，4），
∴AB＝2，BC＝4，
∵D是AB的中點，
∴D（1，4），
∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過AB的中點D，
∴4＝，即m＝4，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝，令x＝2，得y＝2，
∴E的坐標(biāo)（2，2）；
（2）∵D（1，4），E（2，2），
設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，
∴，解得，
∴直線DE的解析式為y＝2x＋6；
（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），以P、Q、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，當(dāng)DE是平行四邊形的邊時，則PQ∥DE，且PQ＝DE，
∴Q的縱坐標(biāo)為0，
∴P的縱坐標(biāo)為±2，
令y＝2，則2＝，解得x＝2，令y＝2，則2＝，解得x＝2，
∵E（2，2），
∴P點的坐標(biāo)為（2，2）；
當(dāng)DE是平行四邊形的對角線時，
∵D（1，4），E（2，2），
∴DE的中點為（，3），
設(shè)P（a，）、Q（x，0），
∴，
∴a＝，
∴P（，6），
綜上所述：P點的坐標(biāo)為（2，2）或（，6）．