【題目】如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解:如圖2,在四邊形中,,問四邊形是垂美四邊形嗎?請說明理由;

(2)性質探究:如圖1,四邊形的對角線交于點.

試證明:;

(3)解決問題:如圖3,分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形,連結.已知,求的長.

【答案】(1)是,理由見解析; (2)見解析;(3

【解析】

1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可;
2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可;
3)根據(jù)垂美四邊形的性質、勾股定理、結合(2)的結論計算.

解:(1)是

理由:

的垂直平分線上.

,

的垂直平分線上.

垂直平分.

∴四邊形為垂美四邊形.

2)如圖2,連接ACBD,

,

.

.

.

;

3)連接CG、BE,
∵∠CAG=BAE=90°,
∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE,
在△GAB和△CAE中,

,

∴△GAB≌△CAESAS),
∴∠ABG=AEC,又∠AEC+AME=90°
∴∠ABG+AME=90°,即CEBG,
∴四邊形CGEB是垂美四邊形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
,

AC=,AB=2,CG=BE=,

GE2=CG2+BE2-CB2=13,
GE=.

練習冊系列答案
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