Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點C，∠BAC的平分線交⊙O于點D，DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若直徑AB＝10，弦AC＝6，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4．

【解析】試題分析： 連結(jié)OD，∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，從而得證.

在Rt△AFO中，利用勾股定理：AF2＋OF2＝AO2，得出的長，四邊形ODEF是矩形，從而得到的長.

試題解析： 連結(jié)OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

即∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，

即DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：作OF⊥AC，垂足為F．

在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，

∴32＋OF2＝52，

∴ OF＝4，

∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，

∴四邊形ODEF是矩形，

∴DE＝OF＝4．