Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y=-x2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)E，并經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使得以AC為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若D是第(2)小題中圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)點(diǎn)C(3,1)或；(3)≤m≤或.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)O，E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)F，則△AOB∽△BOF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的表達(dá)式，聯(lián)立直線BC與拋物線的表達(dá)式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)線段AC1的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作D1D2∥AB交⊙M于點(diǎn)D1，D2，過(guò)點(diǎn)D1作D1P1∥BC交y軸于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)D2作D2P2∥BC交y軸于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P1作P1P3⊥D2P2于點(diǎn)P3，則四邊形D1P1P3D2為矩形，△OAB∽△P3P1P2，由點(diǎn)A，C1的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)及AC1的長(zhǎng)度，結(jié)合直線BC的表達(dá)式可求出直線MN的表達(dá)式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由△OAB∽△P3P1P2利用相似三角形的性質(zhì)可得出P1P2的長(zhǎng)度，由點(diǎn)M為線段D1D2的中點(diǎn)可得出點(diǎn)N為線段P1P2的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)及P1P2的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出m的取值范圍．

（1）∵ 直線y=-2x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，

∴當(dāng)x=時(shí)，y=-2×+2=1，

∴點(diǎn)E(，1)，

∵ 拋物線y=-x2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)E，并經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

∴c=0，

∴，

解之：b=，

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）∵ 直線y=-2x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴點(diǎn)A(0，2)，

當(dāng)y=0時(shí)，-2x+2=0，

解之：x=1，

∴點(diǎn)B(1，0)，

∵ 以AC為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴AB⊥BC，

∴KAB·KBC=-1，

∵ yAB=-2x+2，

設(shè)BC的函數(shù)解析式為：yBC=， 將點(diǎn)B代入得，

解之：b=，

∴yBC=，

解方程組，得或，

∴點(diǎn)C(3，1)或；

（3）∵點(diǎn)A(0，2)，C(3，1)，AC是直徑，

∴圓心O的坐標(biāo)為：，

當(dāng)直線與圓O1相切于點(diǎn)M時(shí)，

∴，

∴，

解之：x=，

∴點(diǎn)M(， )

∴r=O1M=，

∴，

整理得：16m2-24m-41=0，

解之：m1=， m2=，

∴≤m≤，

同理可得，

∴≤m≤或