【題目】如圖,拋物線的頂點為C(1,﹣2),直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點,其中A點在x軸的正半軸上,且OA=3,B點在y軸上,點P為線段AB上的一個動點(點P與點A、B不重合),過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E.
(1)求直線AB的解析式.
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,求點E的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示).
(3)求△ABE面積的最大值.
【答案】(1)直線AB解析式為y=x﹣;
(2)E點的坐標(biāo)為(x, x2﹣x﹣);
(3)△ABE面積的最大值為.
【解析】試題分析:(1)由條件可先求得拋物線解析式,則可求得B點坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式;
(2)由條件可知P、E的橫坐標(biāo)相同,又點E在拋物線上,則可表示出E點坐標(biāo);
(3)由(2)可用x表示出PE的長,則可用x表示出△ABE的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
試題解析:(1)∵拋物線頂點坐標(biāo)為(1,﹣2),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,
∵OA=3,且點A在x軸的正半軸上,
∴A(3,0),
∴0=a(3﹣1)2﹣2,解得a=,
∴拋物線解析式為y=(x﹣1)2﹣2=x2﹣x﹣,當(dāng)x=0時可得y=﹣,
∴B(0,﹣),
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,把A、B坐標(biāo)代入可得,解得,
∴y=x﹣;
(2)∵點P為線段AB上的一個動點,且PE⊥x軸,
∴點E的橫坐標(biāo)為x,
∵點E在拋物線上,
∴E點的坐標(biāo)為(x, x2﹣x﹣);
(3)∵點P為線段AB上的一點,
∴P(x, x﹣),則E(x, x2﹣x﹣),
∴PE=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,
由(2)可知點B到PE的距離x,點A以PE的距離為3﹣x,
∴S△ABE=PEx+PE(3﹣x)=PE(x+3﹣x)=PE=(﹣x2+x)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
∵﹣<0,
∴當(dāng)x=時,S△ABE有最大值,最大值為,
∴△ABE面積的最大值為.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠BAD,AB>AD,下列結(jié)論中正確的是( )
A.AB﹣AD>CB﹣CD
B.AB﹣AD=CB﹣CD
C.AB﹣AD<CB﹣CD
D.AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定
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【題目】如圖,線段AC∥x軸,點B在第四象限,AO平分∠BAC,AB交x軸于G,連OB,OC.
(1)判斷△AOG的形狀,并證明;
(2)如圖1,若BO=CO且OG平分∠BOC,求證:OA⊥OB;
(3)如圖2,在(2)的條件下,點M為AO上的一點,且∠ACM=45°,若點B(1,﹣2),求M的坐標(biāo).
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【題目】貴陽市今年5月份的最高氣溫為27℃,最低氣溫為18℃,已知某一天的氣溫為t℃,則下面表示氣溫之間的不等關(guān)系正確的是( )
A. 18<t<27 B. 18≤t<27 C. 18<t≤27 D. 18≤t≤27
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC為度.
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【題目】已知:如圖1,點D是△ABC的邊BC的中點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn),且BF=CE.
(1)求證:AE=AF;
(2)如圖2,若∠BAC=60°,△ABD的面積為4,連接AD交EF于M,連接BM、CM,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中所有面積為1的三角形.
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【題目】關(guān)于x的不等式(a-2)x>a-2的解集是x>1,則a的取值范圍是( )
A. a>1 B. a<1 C. a>2 D. a<2
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