Question

【題目】如圖，線(xiàn)段AC∥x軸，點(diǎn)B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x軸于G，連OB，OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并證明；
（2）如圖1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求證：OA⊥OB；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)M為AO上的一點(diǎn)，且∠ACM=45°，若點(diǎn)B（1，﹣2），求M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠BAO，

∵線(xiàn)段AC∥x軸，

∴∠CAO=∠AOG，

∴∠BAO=∠AOG，

∴GO=GA，

∴△AOG是等腰三角形

（2）

解：如圖1，

連接BC，

∵BO=CO且OG平分∠BOC，

∴BF=CF，

∵線(xiàn)段AC∥x軸，

∴AG=BG，

由（1）得OG=AG，

∴OG= AB，

∴△AOB是直角三角形，

∴OA⊥OB，

（3）

解：如圖2，連接BC，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點(diǎn)B（1，﹣2），

∴BF=2，OF=1，

在Rt△BFG中，BF=2，BG=FG+1，

根據(jù)勾股定理得，（FG+1）2=FG2+4，

∴FG= ，

∵AC∥OG，AG=BG，

∴AC=2FG=3，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點(diǎn)B（1，﹣2），

∴C（1，2），A（4，2），

∴直線(xiàn)OA解析式為y= x①，

延長(zhǎng)CM交x軸于E，

∵∠ACM=45°，

∴∠CEO=45°，

∴FE=FC=2，

∴E（3，0），

∵C（1，2），

∴直線(xiàn)AE解析式為y=﹣x+3②，

聯(lián)立①②解得x=2，y=1，

∴M（2，1）．

【解析】（1）由角平分線(xiàn)得出∠CAO=∠BAO，由平行線(xiàn)得出∠CAO=∠AOG，即∠BAO=∠AOG，即可；（2）先判斷出點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，再用中位線(xiàn)得出AG=BG，從而判斷出△AOB是直角三角形，即可；（3）先求出OG，從而求出AC，得出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，最后求出直線(xiàn)OA，CM的解析式，即可求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）．