Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6與x軸相交A，B兩點，與y軸相交于點C．

（1）若點E為線段BC上一動點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點P，垂足為F，當PE﹣2EF取得最大值時，在拋物線y的對稱軸上找點M，在x軸上找點N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出該最小值及點N的坐標；若不存在，請說明理由．

（2）在（1）的條件下，若點P′為點P關于x軸的對稱點，將拋物線y沿射線BP′的方向平移得到新的拋物線y′，當y′經過點A時停止平移，將△BCN沿CN邊翻折，點B的對應點為點B′，B′C與x軸交于點K，若拋物線y′的對稱軸上有點R，在平畫內有點S，是否存在點R、S使得以K、B′、R、S為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值為9；（2）（，﹣）或（﹣，）；

【解析】

（1）過點B作直線HB與x軸的夾角為45°，則直線HB的表達式為：y＝x﹣12，過點C作CH⊥BH于點H，交函數(shù)對稱軸于點M，交x軸于點N，則點N為所求，即可求解；

（2）分B′K為菱形的一條邊、B′K為菱形的一條對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6與x軸相交A，B兩點，與y軸相交于點C，

則點A、B、C的坐標分別為：（﹣3，0）、（12，0）、（0，6），

則直線BC的表達式為：y＝﹣x+6，

設點P（x，﹣x2+x+6），則點E（x，﹣x+6），

PE﹣2EF＝yP﹣3yE＝﹣x2+x+6﹣3（﹣x+6）＝﹣x2+3x﹣12，

當x＝9時，PE﹣2EF有最大值，此時，點P（9，6），

即點C是點P關于函數(shù)對稱軸的對稱點，

過點B作直線HB與x軸的夾角為45°，則直線HB的表達式為：y＝x﹣12…①，

過點C作CH⊥BH于點H，交函數(shù)對稱軸于點M，交x軸于點N，則點N為所求，

BH＝BN，PM+MN+NB的和最小值＝CM+MN+NH＝CH即為最小值，

同理直線CH的表達式為：y＝﹣x+6…②，

當y＝0時，x＝6，故點N（6，0），

聯(lián)立①②并解得：x＝9，故點H（9，﹣3），

PM+MN+NB的和最小值＝CH＝ ＝9；

（2）存在，理由：

y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，

點P（9，6），則點P′（9，﹣6），

則直線BP′表達式中的k值為：2，

設拋物線向左平移m個單位，則向下平移2m個單位，

則y′＝﹣（x﹣+m）2++2m，

將點A的坐標代入上式并解得：m＝3，

則y′＝﹣x2+x+3，令y′＝0，則x＝﹣3或6，故點N（6，0），

函數(shù)的對稱軸為：x＝，

同理可得：直線CN的表達式為：y＝﹣x+6，直線BB′的表達式為：y＝x﹣12，

聯(lián)立上述兩式并解得：x＝9，

即交點坐標為：（9，﹣3），該點是點B（12，0）和點B′的中點，

由中點公式可得：點B′（6，﹣6），

同理可得：直線CB′的表達式為：y＝﹣2x+6，令y＝0，則x＝3，故點K（3，0），

設點S（m，n），點R（，s），而點B′、K的坐標分別為：（12，0）、（3，0）；

①當B′K為菱形的一條邊時，

點K向右平移3個單位向下平移6個單位得到B′，

同樣，點R（S）向右平移3個單位向下平移6個單位得到S（R），

即+3＝m，s﹣6＝n或﹣3＝m，s+6＝n，且KR＝B′R，即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，

解得：m＝或﹣，n＝﹣或，

即點S的坐標為：（，﹣）或（﹣，）；

②當B′K為菱形的一條對角線時，

由中點公式得：6+3＝m+，s﹣6＝n，且KR＝B′R，

即（6﹣）2+（s+6）2＝（）2+s2，

解得：m＝，故點P（，﹣）．