Question

【題目】已知AB是圓O的切線，切點(diǎn)為B，直線AO交圓O于C、D兩點(diǎn)，CD=2，∠DAB=30°，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，PC交圓O于另一點(diǎn)Q．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)（如圖1），求AP的長(zhǎng);
（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，有幾個(gè)位置（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）
（3）當(dāng)△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時(shí)（如圖2），求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

當(dāng)Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)，CP與⊙O相切于點(diǎn)C，如圖1，

則有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）

解：有4個(gè)位置使△CQD的面積為．

提示：設(shè)點(diǎn)Q到CD的距離為h，

∵S△CQD=CDh=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，結(jié)合圖2可得：

有4個(gè)位置使△CQD的面積為

（3）

解：過點(diǎn)Q作QN⊥CD于N，過點(diǎn)P作PM⊥CD于M，如圖3．

∵S△CQD=CDQN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN2=CNDN，

設(shè)CN=x，則有=x（2﹣x），

整理得4x2﹣8x+1=0，

解得：x1=，x2=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．

【解析】（1）如圖1，利用切線的性質(zhì)可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題；
（2）易得點(diǎn)Q到CD的距離為，結(jié)合圖形2，即可解決問題；
（3）過點(diǎn)Q作QN⊥CD于N，過點(diǎn)P作PM⊥CD于M，連接QD，如圖3，易證△CNQ∽△QND，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CN．易證△PMC∽△QNC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PM與CM之間的關(guān)系，由∠MAP=30°即可得到PM與AM之間的關(guān)系，然后根據(jù)AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用公式法和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調(diào)整系數(shù)隨其后，使其成為最簡(jiǎn)比．確定參數(shù)abc，計(jì)算方程判別式．判別式值與零比，有無實(shí)根便得知．有實(shí)根可套公式，沒有實(shí)根要告之；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．