Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求此拋物線的解析式;
（2）以點(diǎn)A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑
（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點(diǎn)P，連接PB，PC，請(qǐng)問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值的此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵拋物線y=ax2+bx﹣經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），

∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣

（2）

解：過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖1，

∵⊙A與BC相切，

∴AD為⊙A的半徑，

由（1）可知C（0，），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，

∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴，即，解得AD=，

即⊙A的半徑為

（3）

解：

∵C（0，），

∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

過P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，如圖2，

設(shè)P（x，x2+2x﹣），則Q（x，x﹣），

∴PQ=（x2+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，S△PBC有最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△PBC的面積有最大值．

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)分別代入拋物線解析可求得a和b，可求得拋物線解析式；
（2）過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AD的長(zhǎng)，可求得半徑；
（3）由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，過P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，可設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，容易求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．