【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線;
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求⊙O的半徑及△ACP的周長.
【答案】(1)證明見解析;(2)20.
【解析】
(1)欲證明直線CP是⊙O的切線,只需證得CP⊥AC;
(2)利用正弦三角函數(shù)的定義求得⊙O的直徑AC=5,則⊙O的半徑為.如圖,過點B作BD⊥AC于點D,構(gòu)建相似三角形:△CAN∽△CBD,所以根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得線段BD=4;然后在直角△BCD中,利用勾股定理可以求得CD=2,所以利用平行線分線段成比例分別求得線段PC、PB的長度.則△ACP的周長迎刃可解了.
(1)證明:連接AN,
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∵AC是⊙O的直徑,∴AN⊥BC,
∴∠CAN=∠BAN,BN=CN,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠CAN=∠BCP.
∵∠CAN+∠ACN=90°,
∴∠BCP+∠ACN=90°,
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半徑
∴CP是⊙O的切線;
(2)∵∠ANC=90°,sin∠BCP=,
∴=,
∴AC=5,
∴⊙O的半徑為.
如圖,過點B作BD⊥AC于點D.
由(1)得BN=CN=BC=,
在Rt△CAN中,AN=,
在△CAN和△CBD中,
∠ANC=∠BDC=90°,∠ACN=∠BCD,
∴△CAN∽△CBD,
∴,
∴BD=4.
在Rt△BCD中,CD=,
∴AD=AC-CD=5-2=3,
∵BD∥CP,
∴,,
∴CP=,BP=
∴△APC的周長是AC+PC+AP=20.
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【題目】△ABC中,BC=10,AC﹣AB=6.過C作∠BAC的角平分線的垂線,則S△BDC的最大值為( )
A.10B.15C.20D.25
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【題目】如圖,在已知的△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以B,C為圓心,以大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于兩點M,N;②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,∠A=50°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°
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【題目】如圖,甲、乙兩數(shù)學(xué)興趣小組測量山CD 的高度. 甲小組在地面A處測量,乙小組在上坡B處測量,AB=200 m. 甲小組測得山頂D的仰角為45°,山坡B處的仰角為30°;乙小組測得山頂D 的仰角為58°. 求山CD的高度(結(jié)果保留一位小數(shù)).參考數(shù)據(jù):,,供選用.
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【題目】如圖,在△ABC中,已知點D在線段AB的反向延長線上,過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,… 組成一條平滑的曲線,點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒個單位長度,則第2019秒時,點P的坐標(biāo)是________________
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【題目】山地自行車越來越受中學(xué)生的喜愛.一網(wǎng)店經(jīng)營的一個型號山地自行車,今年一月份銷售額為30000元,二月份每輛車售價比一月份每輛車售價降價100元,若銷售的數(shù)量與上一月銷售的數(shù)量相同,則銷售額是27000元.
(1)求二月份每輛車售價是多少元?
(2)為了促銷,三月份每輛車售價比二月份每輛車售價降低了10%銷售,網(wǎng)店仍可獲利35%,求每輛山地自行車的進(jìn)價是多少元?
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【題目】在平行四邊形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,以AB為直徑作⊙O,邊CD切⊙O于點E.
(1)圓心O到CD的距離是______;
(2)求由弧AE、線段AD、DE所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號)
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