Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，F為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為___________

Answer 1

【答案】+1

【解析】連接BD，取BD、AD的中點(diǎn)為H、G，連接FH、GF，

∵F為DE的中點(diǎn)，

∴FH是△BDE的中位線(xiàn)，FG是△ADE的中位線(xiàn)，

∴FH∥BE,FG∥AE，

∴∠HFD=∠BED，∠GFD=∠AED，

∵∠AEB=90°，

∴∠BED+∠AED=90°，

∴∠HFD+∠GFD=90°，

∴∠HFG=90°，

∴點(diǎn)F在以GH為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

取GH的中點(diǎn)I，

則CF最大時(shí)，是經(jīng)過(guò)圓心I，

∵GH是△ABD的中位線(xiàn)，

∴GH=AB=×4=2，

∴GI=1，

過(guò)I作IM⊥CD于M，

在Rt△CIM中，CM=41=3，IM=2，

由勾股定理得：CI=，

∴CF′=，

故答案為： .