Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點(diǎn)，∠ABD=2∠BAC，連接CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點(diǎn)．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）當(dāng)BF=5，sinF= 時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CF為⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)AD．

在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF= ，

∴BE=BFsinF=3．

∵OC∥BE，

∴△FBE∽△FOC，

∴ ．

設(shè)⊙O的半徑為r，

∴ ，

∴ ．

∵AB為⊙O直徑，

∴AB=15，∠ADB=90°，

∵∠4=∠EBF，

∴∠F=∠BAD，

∴ ，

∴ ，

∴BD=9．

【解析】（1）連接OC．先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據(jù)切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；（2）連結(jié)AD．先解Rt△BEF，得出BE=BFsinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，則 ，設(shè)⊙O的半徑為r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB為⊙O直徑，得出AB=15，∠ADB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠F=∠BAD，則由sin∠BAD= = ，求出BD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．