【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,且拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),C(0,﹣5)兩點,與x軸交于點B.

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;
(2)設(shè)點P為拋物線上的一個動點,連接PB、PC,若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形,求此時點P的坐標;
(3)在拋物線上BC段有另一個動點Q,以點Q為圓心作⊙Q,使得⊙Q與直線BC相切,在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q?若存在,請直接寫出最大⊙Q的半徑;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵對稱軸為x=2,且拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),

∴B(5,0).

把B(5,0),C(0,﹣5)分別代入y=mx+n得 ,解得: ,

∴直線BC的解析式為y=x﹣5.

設(shè)y=a(x﹣5)(x+1),把點C的坐標代入得:﹣5a=﹣5,解得:a=1,

∴拋物線的解析式為:y=x2﹣4x﹣5


(2)

解:①過點C作CP1⊥BC,交拋物線于點P1,如圖,

則直線CP1的解析式為y=﹣x﹣5,

,解得: (舍去), ,

∴P1(3,﹣8);

②過點B作BP2⊥BC,交拋物線于P2,如圖,

則BP2的解析式為y=﹣x+5,

,解得: (舍去), ,

∴P2(﹣2,7)


(3)

解:由題意可知,Q點距離BC最遠時,半徑最大.平移直線BC,使其與拋物線只有一個公共點Q(即相切),設(shè)平移后的直線解析式為y=x+t,

,消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0,

△=25+4(5+t)=0,解得t=﹣

∴平移后與拋物線相切時的直線解析式為y=x﹣ ,且Q( ,﹣ ),

連接QC、QB,作QE⊥BC于E,如圖,

設(shè)直線y=x﹣ 與y軸的交點為H,連接HB,

,

∵CH=﹣5﹣(﹣ )= ,

= ,

,

,BC= ,

∴QE=

即最大半徑為


【解析】(1)根據(jù)對稱軸及A點坐標得出B點坐標,從而得出直線BC解析式,再由A、B、C三點坐標得出拋物線解析式;(2)分別過B、C兩點作BC的垂線,得出垂線的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立解出P點;(3)平移BC到與拋物線剛好相切之處,此時的切點即為Q點,此時Q點距BC的距離最大,也就是半徑最大.由于初中階估沒學點到直線的距離公式,那么這里可以用等面積法進行處理.設(shè)切線與y軸的交點為H,則△HBC與△QBC的面積相等,算出面積,再以BC為底,算出BC邊上的高即為答案.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù);二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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