Question

4．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過點A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
（1）求二次函數(shù)表達式；
（2）若m＞n＞2，比較m²-4m與n²-4n的大��；
（3）將拋物線y=ax²+bx+c平移，平移后圖象的頂點為（h，k），若平移后的拋物線與直線y=x-1有且只有一個公共點，請用含h的代數(shù)式表示k．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C點坐標分別代入y=ax²+bx+c得到關于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；
（2）先確定拋物線對稱軸方程，然后二次函數(shù)的性質，當m＞n＞2，m²-4m+1＞n²-4n+1，整理得到m²-4m＞n²-4n；
（3）設平移后的拋物線的表達式為y=（x-h）²+k，由于直線y=x-1與拋物線有且只有一個公共點，則說明方程x-1=（x-h）²+k有兩個相等的實數(shù)根，然后把方程整理為一般式后△=0即可得到h與k的關系式．

解答 解：（1）∵拋物線過點A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=-2}\\{9a+3b+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為y=x²-4x+1；
（2）∵y=（x-2）²-3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵m＞n＞2，
∴m²-4m+1＞n²-4n+1，
∴m²-4m＞n²-4n；
（3）設平移后的拋物線的表達式為y=（x-h）²+k，
∵直線y=x-1與拋物線有且只有一個公共點，
∴方程x-1=（x-h）²+k有兩個相等的實數(shù)根．
整理得x²-（2h+1）x+h²+k+1=0，
∴△=（2h+1）2-4（h²+k+1）=0，
∴k=h-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了拋物線與直線的交點問題．