Question

已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C，拋物線經過點A和點C,動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍.

（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；               

（2）如果點P和點Q同時出發(fā)，運動時間為t（秒），試問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOC相似；

（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得△ACD的面積最大.若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵ 直線y=kx-3過點A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=．[來源:學&科&網Z&X&X&K]

∴ 直線的解析式為 y=x-3．

由直線y=x-3與y軸交于點C，可知C(0，-3) ．

∴ ，解得 m=．

∴ 拋物線解析式為

（2）對于拋物線，

令y=0，則，解得x₁=1，x₂=4．

_{∴ B(1，0).} 

_{∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.}

_{①         若∠Q1P1A=90°,則P1Q1∥OC（如圖1），}

_{∴ △AP1Q1∽△AOC.}

∴ , ∴．解得t= ； 

② 若∠P₂Q₂A=90°, ∵∠P₂AQ₂ =∠OAC，∴ △AP₂Q₂∽△AOC.

∴ , ∴ ．解得t=；

綜上所述，當t的值為或時，以P、Q、A為頂點的三角形與△AOC相似．

（3）答：存在．

過點D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F（如圖2）.

∴ S_△ADF=DF·AE，S_△CDF=DF·OE．

∴ S_△ACD= S_△ADF + S_△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)

=2×()=．

∴ S_△ACD=（0<x<4）．

又0<2<4且二次項系數，∴ 當x=2時，S_△ACD的面積最大．

而當x=2時，y=．∴ 滿足條件的D點坐標為D (2, )．