【題目】數(shù)學課上,張老師出示了問題:如圖1,AC,BD是四邊形ABCD的對角線,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?
經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長CB到E,使BE=CD,連接AE,證得△ABE≌△ADC,從而容易證明△ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.
小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,使AB與AD重合,從而容易證明△ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.
在此基礎(chǔ)上,同學們作了進一步的研究:
(1)小穎提出:如圖4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”,其它條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對小穎提出的問題,請你寫出結(jié)論,并給出證明.
(2)小華提出:如圖5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其它條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對小華提出的問題,請你寫出結(jié)論,不用證明.
【答案】
(1)
解:BC+CD= AC;
理由:如圖1,
延長CD至E,使DE=BC,
∵∠ABD=∠ADB=45°,
∴AB=AD,∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°,
∵∠ACB=∠ACD=45°,
∴∠ACB+∠ACD=45°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ADC+∠ADE=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC和△ADE中, ,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠ACB=∠AED=45°,AC=AE,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴CE= AC,
∵CE=CE+DE=CD+BC,
∴BC+CD= AC
(2)
解:BC+CD=2ACcosα.理由:如圖2,
延長CD至E,使DE=BC,
∵∠ABD=∠ADB=α,
∴AB=AD,∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α,
∵∠ACB=∠ACD=α,
∴∠ACB+∠ACD=2α,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ADC+∠ADE=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC和△ADE中, ,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠ACB=∠AED=α,AC=AE,
∴∠AEC=α,
過點A作AF⊥CE于F,
∴CE=2CF,在Rt△ACF中,∠ACD=α,CF=ACcos∠ACD=ACcosα,
∴CE=2CF=2ACcosα,
∵CE=CD+DE=CD+BC,
∴BC+CD=2ACcosα
【解析】(1)先判斷出∠ADE=∠ABC,即可得出△ACE是等腰三角形,再得出∠AEC=45°,即可得出等腰直角三角形,即可;(判斷∠ADE=∠ABC也可以先判斷出點A,B,C,D四點共圓)(2)先判斷出∠ADE=∠ABC,即可得出△ACE是等腰三角形,再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論.
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【題目】如圖所示,已知等邊△ABC的邊長為a,P是△ABC內(nèi)一點,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,點D、E、F分別在BC、AC、AB上,猜想:PD+PE+PF等于多少,并證明你的猜想.
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【題目】如圖,⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D,與邊BC相交于點F,OA與CD相交于點E,連接FE并延長交AC邊于點G.
(1)求證:DF∥AO;
(2)若AC=6,AB=10,求CG的長.
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【題目】小亮一家到桃林口水庫游玩.在岸邊碼頭P處,小亮和爸爸租船到庫區(qū)游玩,媽媽在岸邊碼頭P處觀看小亮與爸爸在水面劃船,小船從P處出發(fā),沿北偏東60°方向劃行,劃行速度是20米/分鐘,劃行10分鐘后到A處,接著向正南方向劃行一段時間到B處,在B處小亮觀測到媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上,這時小亮與媽媽相距多少米?(精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,已知P點是∠AOB平分線上一點,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足為C、D.
(1)求證:∠PCD=∠PDC;
(2)求證:OP是線段CD的垂直平分線.
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【題目】如圖,在△ABC中,點D是BC的中點,點E、F分別在線段AD及其延長線上,且DE=DF.下列條件使四邊形BECF為菱形的是( )
A.BE⊥CE
B.BF∥CE
C.BE=CF
D.AB=AC
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【題目】“校園手機”現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注.小麗在“統(tǒng)計實習”活動中隨機調(diào)查了學校若干名學生家長對“中學生帶手機到學!爆F(xiàn)象的看法,統(tǒng)計整理并制作了如下的統(tǒng)計圖:
(1)求這次調(diào)查的家長總數(shù)及家長表示“無所謂”的人數(shù),并補全圖①;
(2)求圖②中表示家長“無所謂”的圓心角的度數(shù);
(3)從這次接受調(diào)查的家長中,隨機抽查一個,恰好是“不贊成”態(tài)度的家長的概率是多少.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點D是直線AB上的一動點(不和A、B重合),BE⊥CD于E,交直線AC于F.
(1)點D在邊AB上時,證明:AB=FA+BD;
(2)點D在AB的延長線或反向延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立?若不成立,請畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合)以AD為邊作正方形ADEF,使∠DAF=∠BAC,連接CF.
(1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:BD=CF;
(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上,且∠BAC=90°時.
①問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
②延長BA交CF于點G,連接GE,若AB=2 ,CD=BC,請求出GE的長.
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