【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)以AD為邊作正方形ADEF,使∠DAF=∠BAC,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),求證:BD=CF;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且∠BAC=90°時(shí).
①問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE,若AB=2 ,CD=BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:菱形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴BD=CF
(2)
解:①(1)中的結(jié)論仍然成立;理由如下:
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF
在△DAB與△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴BD=CF;
②過(guò)A作AH⊥BC于H,過(guò)E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,如圖所示:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=4,AH=BH=HC=2,
∴CD=BC=4,
∴DH=6,CF=BD=8,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM(AAS),
∴EM=DH=6,DM=AH=2,
∴CN=EM=6,EN=CM=6,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=2,
∴GE= = =2 .
【解析】(1)由SAS證明△DAB≌△FAC,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(2)①由SAS證明△DAB≌△FAC,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;②過(guò)A作AH⊥BC于H,過(guò)E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,證出∠ADH=∠DEM,由AAS證明△ADH≌△DEM,得出EM=DH=6,DM=AH=2,得出CN=EM=6,EN=CM=6,證出△BCG是等腰直角三角形,得出CG=BC=4,求出GN=2,由勾股定理求出GE的長(zhǎng)即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題:如圖1,AC,BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?
經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,連接AE,證得△ABE≌△ADC,從而容易證明△ACE是等邊三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.
小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使AB與AD重合,從而容易證明△ACF是等邊三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖4,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”,其它條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,并給出證明.
(2)小華提出:如圖5,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”,其它條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問(wèn)題,請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論,不用證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸交于點(diǎn)B、與y軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第二象限交于C,CE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸,垂足為點(diǎn)F,連接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO , 求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)若動(dòng)點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象的第四象限上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段DC與線段DB之差達(dá)到最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與一個(gè)一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象相交于點(diǎn)A(3,4),且一次函數(shù)y2的圖像與y軸相交于點(diǎn)B(0,—5),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)判斷△AOB的形狀并說(shuō)明理由;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)y1>y2時(shí)x的取值范圍;
(3)若將直線AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使△AOC的面積為8,求旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式;
(4)在x軸上求一點(diǎn)P使△POA為等腰三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D,對(duì)稱軸為直線x=﹣1,點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)F為x軸上一動(dòng)點(diǎn).
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo),并求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為﹣3時(shí),線段EF上存在點(diǎn)H,使△CDH的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出點(diǎn)H,使△CDH的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);
(3)在y軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以P,F(xiàn),C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q分別為AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始B→C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā);設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);
(2)從出發(fā)幾秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直線PQ能否把原三角形周長(zhǎng)分成相等的兩部分?若能夠,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間;若不能夠,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了了解九年級(jí)學(xué)生的體能,從九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試,測(cè)試的結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是多少?B等級(jí)的有多少人?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為多少度?
(3)該校九年級(jí)學(xué)生有1500人,估計(jì)D等級(jí)的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面內(nèi)有三點(diǎn)A(2,2),B(5,2),C(5,)
(1)請(qǐng)確定一個(gè)點(diǎn)D,使四邊形ABCD為長(zhǎng)方形,寫(xiě)出點(diǎn)D的坐.
(2)求這個(gè)四邊形的面積(精確到0.01).
(3)將這個(gè)四邊形向右平移2個(gè)單位,再向下平移個(gè)單位,求平移后四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
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