Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A（6，0），與其對稱軸交于點(diǎn)B，P是拋物線y=﹣x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方．過點(diǎn)P作x軸的垂線交動(dòng)拋物線y=﹣（x﹣h）2（h為常數(shù)）于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交動(dòng)拋物線y=﹣（x﹣h）2于點(diǎn)Q′（不與點(diǎn)Q重合），連結(jié)PQ′，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)h=0時(shí)．

①求證： ；

②設(shè)△PQQ′與△OAB重疊部分圖形的周長為l，求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)h≠0時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形OAQQ′為菱形？若存在，請直接寫出h的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣3）2+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）；（2）①證明見解析②l=（3）存在，h=3﹣2或3+2時(shí)，四邊形OAQQ′為菱形

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，把解析式化為頂點(diǎn)式，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；（2）①當(dāng)h=0時(shí)，求得拋物線的解析式，用m表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再用m表示出PQ、QQ′的長，計(jì)算即可得結(jié)論；②分當(dāng)0＜m≤3時(shí)和當(dāng)3＜m＜6時(shí)兩種情況求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）存在，當(dāng)四邊形OQ′1Q1A是菱形時(shí)，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，可求得Q1點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，將x=3代入y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，可知Q點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，根據(jù)勾股定理求得HQ′1=2，即可得h的值(根據(jù)函數(shù)的對稱性).

試題解析：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c過（0，0）和點(diǎn)A（6，0）

∴，

解得，

∴拋物線y=﹣x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+8x，

∴y=﹣（x﹣3）2+4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）；

（2）①證明：∵h=0時(shí)，拋物線為y=﹣x2，

設(shè)P（m，﹣m2+m），Q（m，﹣m2），

∴PQ=m，QQ′=2m，

∴==；

②如圖1中，當(dāng)0＜m≤3時(shí)，設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)E，與OA交于點(diǎn)F，

∵=，∠PQQ′=∠BMO=90°，

∴△PQQ′∽△BMO，

∴∠QPQ′=∠OBM，

∵EF∥BM，

∴∠OEF=∠OBM，

∴∠OEF=∠QPQ′，

∴OE∥PQ′，

∵=，

∴EF=，OE=，

∴l(xiāng)=OF+EF+OE=m++m=4m，

當(dāng)3＜m＜6時(shí)，如圖2中，設(shè)PQ′與AB交于點(diǎn)H，與x軸交于點(diǎn)G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF==，

∴EF=（6﹣m），AE=，

∵tan∠PGF==，PF=﹣x2+x，

∴GF=﹣m2+2m，

∴AG=﹣m2+m+6，

∴GM=AM=﹣m2+m+3，

∵HG=HA==﹣m2+m+5，

∴l(xiāng)=GH+EH+EF+FG=﹣m2+4m+8．

綜上所述l=，

（3）如圖3中，存在，

當(dāng)四邊形OQ′1Q1A是菱形時(shí)，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

當(dāng)頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，Q1點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，將x=3代入

y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，

∴點(diǎn)Q1的縱坐標(biāo)為-4，

在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，

∴HQ′1=2，

∴h=3﹣2或3+2，

綜上所述h=3﹣2或3+2時(shí)，四邊形OAQQ′為菱形．