Question

4．在△ABC中，高線AD、CE交于點(diǎn)F，且EC=EA．
（1）如圖1，求證：EF=BE；
（2）如圖2，若EH⊥AD于點(diǎn)H，連接DE，S_△BDE：S_△AED=1：2，S_△ABC=75，求△EDH的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明EF=BE，只要證明△AEF≌△CEB即可．
（2）先證明EF=CF=EB，推出S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB，求出這三個(gè)三角形面積求出AE、EF，再利用△AHE∽△AEF，得到$\frac{AH}{AE}$=$\frac{EH}{EF}$，設(shè)HE=b，則AH=2b，利用勾股定理求出b，再利用HE∥DB，得$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{DH}$=2，求出DH即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF=∠CEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEB}\\{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=EB．
（2）解：如圖2中，∵EF=EB，AE=EC=2EB
∴EF=FC，
∴S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB，
∵S_△ABC=75，
∴S_△EFA=S_△CFA=S_△CEB=25，設(shè)EF=EB=a，
則$\frac{1}{2}$•2a•a=25，
a=5，
∴AE=10，
∵∠EAH=∠EAF，∠AHE=∠AEF=90°，
∴△AHE∽△AEF，
∴$\frac{AH}{AE}$=$\frac{EH}{EF}$，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AE}{EF}$=2，設(shè)HE=b，則AH=2b，（2b）²+b²=10²，解得b=2$\sqrt{5}$，
∴AH=4$\sqrt{5}$，HE=2$\sqrt{5}$，
∵HE∥DB，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{DH}$=2，
∴DH=2$\sqrt{5}$，
∴S_△EDH=$\frac{1}{2}$•EH•DH=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．