【題目】如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C(0,8),點(diǎn)D是拋物線上的動點(diǎn),直線AD與y軸交于點(diǎn)K.

(1)填空:c= ;

(2)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,連接OD、CD、AC,以AC為直徑作M,試判斷點(diǎn)D與M的位置關(guān)系,并說明理由.

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得BAC=2BAD?若存在,試求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.

【答案】(1)8;(2)點(diǎn)D在M上.理由見試題解析;(3)D的坐標(biāo)為(2,4)或().

【解析】

試題分析:(1)把C(0,8)代入拋物線y=x2x+c,計算即可求得c的值;

(2)點(diǎn)D與M上,理由:由(1)得拋物線的解析式為:y=x2x+8,進(jìn)一步得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AD的解析式,根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)K的坐標(biāo)為(0,3),在RtAOK中,根據(jù)三角函數(shù)得到tanKAO,作DEy軸于點(diǎn)E,則DE=2,CE=84=4,在RtCED中,根據(jù)三角函數(shù)得到tanECD,tanECD==,可得KAO=ECD,進(jìn)一步得到ECD+CKD=90°,CDK=90°,可得點(diǎn)D在M上.

(3)分兩種情況討論:i)當(dāng)直線AD在x軸的上方時;ii)當(dāng)直線AD在x軸的下方時,直線AD關(guān)于x軸的對稱圖形為直線AD',進(jìn)行討論,可求符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo).

試題解析:(1)把C(0,8)代入拋物線y=x2x+c,得c=8.

故答案為:8;

(2)點(diǎn)D與M上,

理由如下:由(1)得:c=8,拋物線的解析式為:y=x2x+8,

當(dāng)x=2時,y=×22×2+8=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),

在y=x2x+8中,令y=0,則x2x+8=0,

解得:x1=6,x2=,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0).

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k0),又直線過點(diǎn)A(6,0)和點(diǎn)D(2,4),

,解得:直線AD的解析式為y=x+3.

令x=0,則y=3,點(diǎn)K的坐標(biāo)為(0,3).

在RtAOK中,tanKAO=,

作DEy軸于點(diǎn)E,則DE=2,CE=84=4,

在RtCED中,tanECD

tanKAO=tanECD,

KAO=ECD

∵∠KAO+AKO=90°

∵∠AKO=CKD,

∴∠ECD+CKD=90°,CDK=90°,

點(diǎn)D在M上.

(3)分兩種情況討論:i)當(dāng)直線AD在x軸的上方時,由(2)中可知:tanECD=

在RtOED中,tanEOD=tanECD=tanEOD,ECD=EOD,CD=OD,

∵∠AOC=90°點(diǎn)O在M上.在M中,= CAD=DAB,即BAC=2BAD,

點(diǎn)D(2,4)符合題意.

ii)當(dāng)直線AD在x軸的下方時,直線AD關(guān)于x軸的對稱圖形為直線AD',

設(shè)直線AD'上的任意一點(diǎn)為(m,n),則點(diǎn)(m,n)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)(m,n)在直線AD上,

把點(diǎn)(m,n)代入直線AD的解析式y(tǒng)=x+3,得:n=m+3,n=m3,即y=x3,

聯(lián)立得:x3=x2x+8,

整理得:5x2+8x132=0,

解得:x1=6,x2=,

點(diǎn)D(,-).

綜上,符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)或(,-).

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