Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M，交BC于點G，交AB于點F．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）當BC=4，AC=6時，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OM，如圖1，先證明OM∥BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷AE⊥BC，則OM⊥AE，然后根據(jù)切線的判定定理得到AE為⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2，再證明△AOM∽△ABE，則利用相似比得到$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$，然后解關(guān)于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如圖，易得四邊形OHEM為矩形，則HE=OM=$\frac{3}{2}$，所以BH=BE-HE=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)垂徑定理得到BH=HG=$\frac{1}{2}$，所以BG=1．

解答 （1）證明：連接OM，如圖1，
∵BM是∠ABC的平分線，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分線，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE為⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分線，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{r}{2}$=$\frac{6-r}{6}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即設(shè)⊙O的半徑為$\frac{3}{2}$；
（3）解：作OH⊥BE于H，如圖，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四邊形OHEM為矩形，
∴HE=OM=$\frac{3}{2}$，
∴BH=BE-HE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=$\frac{1}{2}$，
∴BG=2BH=1．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的判定和等腰三角形的性質(zhì)；會運用相似三角形的判定與性質(zhì)計算線段的進行幾何計算．