Question

【題目】操作：和都是等邊三角形，繞著點按順時針方向旋轉，是、的中點，有以下三種圖形.

探究：

（1）在上述三個圖形中，是否一個固定的值，若是，請選擇任意一個圖形求出這個比值；

（2）的值是否也等于這個定值，若是，請結合圖（1）證明你的結論；

（3）與有怎樣的位置關系，請你結合圖（2）或圖（3）證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）是一個固定的值，，證明見解析；（2）的值是等于這個定值,證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AO⊥BC，BO=BC=AB，根據勾股定理計算即可求得AO= BO，即AO∶BO是一個固定的值 ∶1；

（2）由等邊三角形的性質可得AO⊥BC， ，由同角的余角相等可得，由（1）可得，可得，根據相似三角形的性質可得；

（3）在圖（3）中，由（2）得，根據相似三角形的性質可得∠1=∠2，根據對頂角相等得∠3=∠4，則∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°，即.

（1）解：∵是等邊三角形，由圖（1）得AO⊥BC，

∴，∴；

（2）證明：，

，

∴

∴

∴

（3）證明：在圖（3）中，由（2）得

∴，

∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠AEF =∠AOB

∵∠AOB=90°，

∴

∴.

故答案為：（1）是一個固定的值，，證明見解析；（2）的值是等于這個定值,證明見解析；（3）證明見解析．