Question

【題目】請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)探究，并完成所提出的問題．

（1）探究1：如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，是邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至處，連接，求面積的最小值．

（2）探究2：如圖2，若是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，，（1）中的其他條件不變，請(qǐng)求出此時(shí)面積的最小值．

（3）探究3：如圖3，在中，，，，是邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至處，、、三點(diǎn)共線，連接，求的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以求出的面積，根據(jù)是等邊三角形，可以得出，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，即可求出的面積的最小值為．

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可以求得的面積，易知，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，即可求出的面積的最小值為．

（3）由已知條件可證是等邊三角形，所當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，即可求得的面積的最小值．

解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

∴，∴，

∴．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，

∴是等邊三角形．

∵是等邊三角形，∴，

∴．

∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，

∴的面積的最小值為．

（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，

∴，∴，．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，

∴是等腰直角三角形．

∵是等腰直角三角形，

∴，∴．

∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，

∴的面積的最小值為．

（3）∵在中，，，，

∴，．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，

∴是等邊三角形．

∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，

∴的面積的最小值為．