Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-1,0）B（4，0），C（0，4）三點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）將（1）中的拋物線向下平移個長度單位，再向左平移h(h＞0)個長度單位，得到新拋物線．若新拋物線的頂點在△ABC內，求h的取值范圍；

（3）點P為線段BC上的一動點（點P不與點B,C重合），過點P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點Q，當△PQC與△ABC相似時，求△PQC的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的面積為或.

【解析】

（1）把，，代入中求出拋物線解析式，然后配方求出頂點坐標即可；

（2）根據二次函數(shù)平移的性質得到，得到頂點的坐標為 ，然后分情況討論當在直線BC上時，，解得；當在直線AC上時，，解得，即可解答；

（3）由題意可得，再根據A,B,C的坐標設，則，得到，，根據題意可知點P與點B是對應點，再分情況討論：當時，；當時，.

解：（1）把，，代入中，得：

，解得.

拋物線的解析式為

.

頂點D的坐標是；

（2）將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度得拋物線.

新拋物線的頂點的坐標是.

由題意得：直線BC的解析式為，直線AC的解析式為.

當頂點在直線BC上時，，解得.

當頂點在直線AC上時，，解得.

新拋物線的頂點在內，的取值范圍是.

（3）如圖，直線PQ交x軸于點M，

，.

，

.

軸

.

.

，，，

，.

設，則

，.

由題意得，，，點P與點B是對應點.

①當時，，

.

（舍）或.

，

...

②當時，，

（舍）或.

，

.

綜上所述：的面積為或...