Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣ ），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最��？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）以AB為直徑的⊙M相切于點(diǎn)E，CE交x軸于點(diǎn)D，求直線CE的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）

∵拋物線經(jīng)過（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y= （x﹣4）2﹣

即：y= x2﹣ x+2

當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣ x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）

（2）解：存在，如圖2，

由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸l為x=4，

因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2 ，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值為2

（3）解：如圖3，連接ME

∵CE是⊙M的切線

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

∵C的坐標(biāo)（0，2），

∴OC=2，

∵AB=4，

∴ME=2

∴OC=ME=2，

∵∠ODC=∠MDE，

∵在△COD與△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

設(shè)OD=x

則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

則Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（ ，0）

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵直線CE過C（0，2），D（ ，0）兩點(diǎn)，

則

解得：

∴直線CE的解析式為y=﹣ +2；

【解析】（1）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，因此函數(shù)解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得函數(shù)解析式，由y=0，建立方程求解即可得到拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）要在拋物線的對(duì)稱軸l上求作點(diǎn)P，使AP+CP的值，拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，因此連接BC交直線l于點(diǎn)P，要求AP+CP的值，可證得AP+CP=BC，再Rt△OBC中根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)。
（3）由已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及AB時(shí)直徑，可證得OC=ME，即可證明△COD≌△MED，得出OD=DE，DC=DM。運(yùn)用勾股定理Rt△COD中，求出OD的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可直線CE的解析式。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．