Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3），即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解：存在．

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2﹣2x+3=3，則C（0，3），

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

連接BC交直線x=﹣1于Q，如圖，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，

∴QA=QB，

∴QA+QC=QB+QC=BC，

∴此時(shí)QA+QC的值最小，

∴此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x+3，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=x+3=2，

∴滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）；

；（3）（1）中拋物線在第二象限的圖象是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：存在．

過PD∥y軸交BC于P，如圖，

設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），則D（x，x+3），

∴PD=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x，

∴S△PBC=S△PBD+S△PCD= 3PD=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+ ）2+ ，

當(dāng)x=﹣ 時(shí)，S△PBC值最大，最大值為 ，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

【解析】（1）利用交點(diǎn)式可直接得到拋物線的解析式；（2）先確定C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，連接BC交直線x=﹣1于Q，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問題得到此時(shí)QA+QC的值最小，從而確定此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+3，然后計(jì)算自變量為﹣1時(shí)的一次函數(shù)值即可得到滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過PD∥y軸交BC于P，如圖，設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），則D（x，x+3），則PD可表示為﹣x2﹣3x，利用三角形面積公式得到S△PBC=﹣ x2﹣ x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．