6.在△ABC中,AD是BC邊上的高,⊙P是△ABC的外接圓.
(1)如圖1,若AD=5,BD=1,BC=6,求⊙P的半徑;
(2)如圖2,若∠ABC=75°,∠ACB=45°,I是△ABC的內(nèi)心,求$\frac{AI}{AP}$的值;
(3)如圖3,若∠ABC-∠ACB=30°,當B,C運動時,$\frac{DC-BD}{AP}$的值是否變化?若不變,求出其值;若變化,求出其變化的范圍.

分析 (1)過點P作PH⊥BC于點H,連接PA、PC、PD,在直角△PHC中即可解出半徑長度;
(2)延長AI交⊙P于點E,連接PE交BC于點F,連接CE、PB、PC、IC,過點B作BH⊥AC于點H,利用邊角關(guān)系,用AP表示出來AI,即可解決;
(3)過點A作AE∥BC,交⊙P于點E,連接PE、CE,過點E作EF⊥BC于點F,借助△ABD≌△ECF找出邊角關(guān)系,用AP表示出DC和BD即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)過點P作PH⊥BC于點H,連接PA、PC、PD,如圖1,

∵∠ACB=45°,
∴CD=AD=5,
在△PAD和△PCD中,$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC(半徑)}\\{CD=AD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$,
∴△PAD≌△PCD(SSS),
∴∠PDC=∠PDA=45°,
∴PH=DH=BH-BD=2,
又∵CH=3,
∴由勾股定理知:PC=$\sqrt{P{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$.
(2)延長AI交⊙P于點E,連接PE交BC于點F,連接CE、PB、PC、IC,過點B作BH⊥AC于點H,如圖2,

∠EIC=∠IAC+∠ICA=52.5°,∠ECI=∠BCE+∠ICB=52.5°,
∴∠EIC=∠ECI,
∴EI=EC,
∵∠EPC=2∠CAE=60°(圓心角等于圓周角的2倍),
∴△PCE是等邊三角形,
∴CE=PC=AP,
∴IE=AP,
∵∠CAE=30°,∠ACE=75°,
∴∠AEC=75°=∠ACE,
∴AC=AE=AI+IE=AI+AP,
∵∠BAE=∠CAE,
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$,
∴PE⊥BC,
∴BC=2BF=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB=$\sqrt{3}$AP,
∴CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AP,
又∵AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP,
∴AI+AP=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP+$\frac{\sqrt{6}}{2}$AP,
∴$\frac{AI}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-2}{2}$.
(3)過點A作AE∥BC,交⊙P于點E,連接PE、CE,過點E作EF⊥BC于點F,如圖3,

∵AE∥BC,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CE}$,
∴AB=CE,
∵四邊形ADFE是矩形,
∴AE=DF,AD=EF,
∴△ABD≌△ECF,
∴BD=CF,∠ABD=∠ECF,
∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=∠ABC-∠ACB=30°,
∴∠APE=2∠ACE=60°,
∴AP=AE=DF,
∴$\frac{DC-BD}{AP}$=$\frac{DC-CF}{AP}$=$\frac{DF}{AP}$=1.
故當B,C運動時,$\frac{DC-BD}{AP}$的值是不變,$\frac{DC-BD}{AP}$=1.

點評 本題考查了圓心角與圓周角的關(guān)系、勾股定義以及三角形全等的判定與性質(zhì)定理等,解題的關(guān)鍵是畫出圖形,借助于數(shù)形結(jié)合解決問題.

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9.化簡與求值:
(1)若m=-3,則代數(shù)式$\frac{2}{3}$m2+1的值為7;
(2)若m+n=-3,則代數(shù)式$\frac{2(m+n)^{2}}{3}+1$的值為7;
(3)若3m+n=2,請仿照以上求代數(shù)式值的方法求出3(m-n)+4(3m+2n)+2的值.

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1.問題提出:有同樣大小正方形256個,拼成如圖1所示的16×16的一個大的正方形.請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話,最多可以穿過多少個小正方形?

我們先考慮以下簡單的情況:一條直線穿越一個正方形的情況.(如圖2)
從圖2中我們可以看出,當一條直線穿過一個小正方形時,這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個邊相交,所以當一條直線穿過一個小正方形時,這條直線會與其中某兩條邊產(chǎn)生兩個交點,并且以兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內(nèi).
這就啟發(fā)我們:為了求出直線L最多穿過多少個小正方形,我們可以轉(zhuǎn)而去考慮當直線L穿越由小正方形拼成的大正方形時最多會產(chǎn)生多少個交點.然后由交點數(shù)去確定有多少根小線段,進而通過線段的根數(shù)確定下正方形的個數(shù).
再讓我們來考慮3×3正方形的情況(如圖3):為了讓直線穿越更多的小正方形,我們不妨假設(shè)直線L右上方至左下方穿過一個3×3的正方形,我們從兩個方向來分析直線l穿過3×3正方形的情況:從上下來看,這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段;從左右來看,這條直線最多可穿過左右平行的四條線段;這樣直線L最多可穿過3×3的大正方形中的六條線段,從而直線L上會產(chǎn)生6個交點,這6個交點之間的5條線段,每條會落在一個不同的正方形內(nèi),因此直線L最多能經(jīng)過5個小正方形.
問題解決:
(1)有同樣大小的小正方形16個,拼成如圖4所示的4×4的一個大的正方形.請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話,最多可以穿過7個小正方形?
(2)有同樣大小的小正方形100個,拼成10×10的一個大的正方形.請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話,最多可以穿過19個小正方形?
(3)有同樣大小的小正方形256個,拼成16×16的一個大的正方形.請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話,最多可以穿過31個小正方形?
(4)請問如果用一條直線穿n×n大正方形的話,最多可以穿過2n-1個小正方形?
拓展探究:
(5)請問如果用一條直線穿2×3大長方形的話(如圖5),最多可以穿過4個小正方形?
(6)請問如果用一條直線穿3×4大長方形的話(如圖6),最多可以穿過6個小正方形?
(7)請問如果用一條直線穿m×n大長方形的話,最多可以穿過m+n-1個小正方形?
請將你的推理過程進行簡要的敘述.
類比探究:由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間,平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的正方形的六個面,類比上面問題解決的方法解決如下問題.
(8)如圖①有同樣大小的小正方體8個,拼成如圖①所示的2×2×2的一個大的正方體.請問如果用一條直線穿過這個大正方體的話,最多可以穿過多少個小正方體?

(9)請問如果用一條直線穿過n×n×n大正方體的話,最多可以穿過多少個小正方體?

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