Question

【題目】綜合與實(shí)踐 問(wèn)題情境：

綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“三角形紙片的折疊與旋轉(zhuǎn)“為主題展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．

動(dòng)手操作：

已知：三角形紙片中，.將三角形紙片按如下步驟進(jìn)行操作：

第一步：如圖1，折疊三角形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，然后展開(kāi)鋪平，折痕分別交于點(diǎn)，連接，易知．

第二步：在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片沿剪開(kāi)，得到和.保持的位置不變，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到(點(diǎn)分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，旋轉(zhuǎn)角為問(wèn)題解決：

（1）如圖2，小彬畫出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的圖形，設(shè)線段交于點(diǎn)，連接.小彬發(fā)現(xiàn)所在直線始終垂直平分線段.請(qǐng)證明這一結(jié)論；

（2）如圖3，小穎畫出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的圖形，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，連接判斷此時(shí)的形狀，說(shuō)明理由；

（3）在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）△COF為等邊三角形，證明見(jiàn)詳解；（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得△ADC≌△FDG，可得對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角分別相等，從而轉(zhuǎn)化證△FDM≌△CDN，進(jìn)一步的得MD=ND，再證得AM=GN后，由此可證△APM≌△GPN，最后利用垂直平分線的判定即可；

（2）由第（1）問(wèn)中的結(jié)論結(jié)合90°角可以計(jì)算得到∠OFC=∠OCF=60°，從而得證；

（3）首先要畫出符合題意的圖形，再借助勾股定理利用題目給的已知條件計(jì)算即可．

（1）證明：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴△ADC≌△FDG

∴AD=FD, DG=DC, ∠DAC=∠DFG，∠C=∠DGF，∠ADC=∠FDG，

∵AD=DC

∴∠DAC=∠C，DA=DF=DC=DG，

∴∠DAC=∠DFG=∠C=∠DGF，

∵∠ADC=∠FDG，

∴∠FDM=∠CDN，

在△FDM與△CDN中

∴△FDM≌△CDN(ASA)

∴MD=ND,

∴MA=NG,

在△APM與△GPN中

∴△APM≌△GPN (AAS)

∴PA=PG

又∵DA=DG

∴DP垂直平分AG．

（2）解：△COF為等邊三角形．

理由如下：∵旋轉(zhuǎn)角

∴∠FDA=∠GDC=90°

又∵DF=DA,DG=DC

∴∠DFA=∠DAF=∠DGC=∠DCG=45°

∵

∴∠B=∠DCA=30°

∵AD=DC

∴∠DAC=∠DCA=30°

∴∠ADC=120°

∴∠FDC=360°-∠ADC-∠ADF=360°-120°-90°=150°

∵DF=DC

∴∠DFC=∠DCF=15°

∴∠OFC=∠DFC+∠DFA=45°+15°=60°

∠OCF=∠DCG+∠DCF=45°+15°=60°

∴∠OFC=∠OCF

∴OC=OF

又∵∠OCF=60°

∴△COF為等邊三角形

（3）解：如圖1，∵∠BAC=120°，∠DAC=30°

∴∠BAD=90°，

又∵∠ABC=30°，

∴AD=BD，

∴CD=BD，

∵BC=6，

∴CD=AD=2，BD=4

∴FD=AD=2，

∵，∠AFD=30°，

∴OD=FD=1，OF=,

∴BO=BD-OD=4-1=3,

∴在Rt△BOF中，BF=

如圖2，BO=BD+OD=4+1=5,

∴在Rt△BOF中，BF=

∴兩點(diǎn)間的距離為或．