Question

【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．

（1）如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試證明∠BOC＝90°+

（2）如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫(xiě)結(jié)論，不需證明）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BOC=，理由見(jiàn)解析；（3）∠BOC=90°－

【解析】

（1）利用△ABC和△BOC的內(nèi)角和為180°進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化可得結(jié)論；

（2）設(shè)∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的內(nèi)角和，可得出2個(gè)關(guān)于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得；

（3）設(shè)∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的內(nèi)角和，可得出2個(gè)關(guān)于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得．

（1）∵OB、OC分別時(shí)∠ABC和∠ACB的角平分線

∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2

在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化簡(jiǎn)得：∠A+2(∠1+∠2)=180°

在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化簡(jiǎn)得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2(180°－∠BOC)=180°

化簡(jiǎn)得：∠BOC=90°+

（2）設(shè)∠ABO=x，∠ACO=y

∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)

∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化簡(jiǎn)得：∠A=2(y－x)

在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化簡(jiǎn)得：∠BOC=(y－x)

∴∠BOC=

（3）設(shè)∠DBO=x，∠ECO=y

同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化簡(jiǎn)得：2(x+y)－∠A=180°

在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化簡(jiǎn)得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－