Question

【題目】

（已有經(jīng)驗(yàn)）

我們已經(jīng)研究過(guò)作一個(gè)圓經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)，也研究過(guò)作一個(gè)圓與已知角的兩條邊都相切，尺規(guī)作圖如圖所示：

（遷移經(jīng)驗(yàn)）

（1）如圖①，已知點(diǎn)M和直線l，用兩種不同的方法完成尺規(guī)作圖：求作⊙O，使⊙O過(guò)M點(diǎn)，且與直線l相切．（每種方法作出一個(gè)圓即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（問(wèn)題解決）

如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

（2）已知⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與直線AB相切．若圓心O在△ABC的內(nèi)部，則⊙O半徑r的取值范圍為 ．

（3）點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，BD＝m，請(qǐng)直接寫(xiě)出邊AC上使得∠BED為直角時(shí)點(diǎn)E的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，作線段的垂直平分線確定圓心，從而畫(huà)圓；

(2)分別作出符合題意的臨界點(diǎn)圖形，確定半徑的取值范圍;

(3)根據(jù)圓周角定理，點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，從而確定出符合條件的圓的半徑的取值范圍.

（1）如圖，

（2）如圖：

此時(shí)圓O的半徑最小，∵圓O與AB相切，

∴CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的面積公式可得：

根據(jù)勾股定理可得：

∴10CD=8×6

CD=4.8，即此時(shí)圓的半徑r=2.4

如圖，當(dāng)圓心O在AC邊上時(shí)，根據(jù)題意設(shè)OC=OD=x,則AO=8-x

∵∠ODA=∠BCA=90°，且∠A=∠A

∴△AOD∽△ABC

∴ , 解得x=3

∴

（3）如圖：

根據(jù)圓周角定理∠BED為直角時(shí)，則以BD為直徑的圓與AC交于點(diǎn)E，當(dāng)OE⊥AC時(shí)，此時(shí)有一個(gè)點(diǎn)E符合條件，由題意可知：OE= ，AO=

∵OE∥BC

∴ ,

解得：m=7.5

當(dāng)BD=AB時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，此時(shí)m=10

∴時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)E符合題意

時(shí)，有0個(gè)點(diǎn)E符合題意

時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)E符合題意.