Question

【題目】某中學(xué)八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識時時，經(jīng)歷了以下學(xué)習(xí)過程：

（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，在中，若平分，時，可以得出，為中點，請用所學(xué)知識證明此結(jié)論．

（2）（學(xué)以致用）如果和等腰有一個公共的頂點，如圖2，若頂點與頂點也重合，且，試探究線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）（拓展應(yīng)用）如圖3，在（2）的前提下，若頂點與頂點不重合，，（2）中的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論

Answer 1

【答案】（1）詳見詳解；（2）DF＝2BE，證明詳見詳解；（3）DF＝2BE，證明詳見詳解

【解析】

（1）只要證明△ADB≌△ADC（ASA）即可；

（2）如圖2中，延長BE交CA的延長線于K，只要證明△BAK≌△CAD（ASA）即可；

（3）作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J，利用（2）中的結(jié)論證明即可．

解：（1）如圖1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，

∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA），

∴AB＝AC，BD＝DC．

（2）結(jié)論：DF＝2BE．

理由：如圖2中，延長BE交CA的延長線于K．

∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，

∴由（1）中結(jié)論可知：CB＝CK，BE＝KE，

∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，

∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，

∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC，

∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK，

∴CD＝2BE，

即DF＝2BE．

（3）如圖3中，結(jié)論不變：DF＝2BE．

理由：作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J．

∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，

由（2）可知Rt△ABC為等腰三角形

∵∠JBF＝45°，

∴△BJF是等腰直角三角形，

∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ，

由（2）可知：DF＝2BE．