Question

【題目】如圖，已知AC為正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，B重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PE，連接AE，BP，CE.

（1）求證：；

（2）當(dāng)線段BP與CE相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為M，求的值以及的度數(shù)；

（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，，當(dāng)點(diǎn)P，C，E在同一直線上時(shí)，求線段BP的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)題意可知為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得，，然后利用兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證出；

（2）利用兩組對(duì)應(yīng)邊成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證出，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值，，然后利用三角形的內(nèi)角和即可求出；

（3）根據(jù)點(diǎn)P、C、E的相對(duì)位置分類討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CP上時(shí)，利用勾股定理求出PC的長(zhǎng)，從而求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)（2）的結(jié)論即可求出BP；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)，原理同上.

解：（1）∵線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PE

∴為等腰直角三角形

∴，

∵在正方形ABCD中，，

∴，

∴

∴

（2）由（1）知

∴

即

又∵

∴

∴，

又∵

∴

（3）①如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)E在線段CP上時(shí)

∵在正方形ABCD中，∠，

∴

∴在中，

∴

∵由（2）知且

∴；

②如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時(shí)

由①得，

∴

由（2）知且

∴；

綜上所述：或.