Question

【題目】是等邊三角形，點P在的延長線上，以P為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)n°（）得線段，連接，．

（1）如圖，若，畫出當時的圖形，并寫出此時n的值；

（2）M為線段的中點，連接．寫出一個n的值，使得對于延長線上任意一點P，總有，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）n=120°，理由見詳解.

【解析】

（1）由是等邊三角形，得∠BAC=∠ACB=60°，由，，得∠PBQ=∠CPA=30°，，進而得到∠BPC=60°，即可求解；

（2）以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，

設(shè)點B（a，0），點P（x，0），根據(jù)坐標系中，中點坐標公式和兩點間的距離公式，分別表示出MP，AP的長度，即可.

如圖1，若，當時，n=60°，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵，

∴∠CAP=∠CPA=30°，

∵

∴∠PBQ=∠CPA=30°，

∵，

∴，

∴∠Q=90°，

∴∠BPC=180°-∠Q -∠PBQ =180°-90°-30°= 60°，

∴n=60°；

（2）當n=120°時，對于延長線上任意一點P，總有，理由如下：

以點C為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2，

設(shè)點B（a，0），點P（x，0），

∴PQ=PC=x，

∵∠CPQ=120°，

∴∠NPQ=180°-120°=60°，

過點Q作QH⊥x軸，則PH=x，QH=x,

∴點Q坐標為（，），

∵點M時BQ的中點，

∴點M的坐標為：

過點A作AE⊥x軸，則CE=CB，AE=CE，

∴點A坐標為： ，

∴AP==

MP==，

即：.

圖1 圖2