【題目】如圖,經(jīng)過點A0,4)的拋物線y=x2+bx+cx軸相交于點B10)和C,O為坐標原點.

(1)求拋物線的解析式;

2)將拋物線y=x2+bx+c向上平移7個單位長度,再向左平移mm0)個單位長度,得到新拋物線,若新拋物線的頂點PABC內(nèi),求m的取值范圍;

(3)將x軸下方的拋物線圖象關于x軸對稱,得到新的函數(shù)圖象C,若直線y=x+k與圖象C始終有3個交點,求滿足條件的k的取值范圍.

【答案】1y=x2x42m(3)1或

【解析】試題分析

1)將A、B兩點坐標代入即可解出的值,從而得到拋物線的解析式;

(2)將(1)中所得解析式配方,結合已知條件可得平移所得新拋物線的解析式及其頂點坐標;由A、B、C三點的坐標可求得直線AB、AC的解析式,由頂點分別落在ABAC上可求得對應的“m”的值,即可得到“m”的取值范圍;

3如圖1,當直線和新的函數(shù)圖象C有三個公共點時,直線分別處于圖中的位置上;過點B,可求得此時“m”的值;當直線處以的位置時,由圖可知,此時直線和新的函數(shù)圖象C的范圍內(nèi)有1個公共點,由“一元二次方程根的判別式”可求得此時“m”的值;兩者綜合即可得到本題答案.

試題解析

1經(jīng)過點A04)的拋物線x軸相交于點B1,0),

,解得:

拋物線解析式為;

(2)由(1)知,拋物線解析式為,

此拋物線向上平移7個單位長度再向左平移mm0)個單位長度后,所得新拋物線的解析式為

拋物線的頂點P的坐標為,

對于拋物線時,有 ,由此解得=﹣1或8,

∴C的坐標為8,0),

∵A0,﹣4),B﹣1,0),

可解得直線AB的解析式為y=4x4,直線AC的解析式為y=x4,

由此可得

當頂點PAB上時,可得 ,解得m=,

當頂點PAC上時,可得 ,解得m=

綜合①②可得,當點PABC內(nèi)時m的取值范圍是: ;

3)翻折后所得新圖象如圖1所示.

當直線和新圖象C(其中翻折所得部分為有三個公共點時,直線分別處在圖中的位置上:

當直線l位于l1時,此時直線過點B10),

∴0=﹣1+k,解得k=1

②∵當直線l位于l2時,此時直線與函數(shù)的圖象有一個公共點,

方程有兩個相等實根.

∴△=2542k8=0,即k=

綜上所述,k的值為1

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