Question

【題目】在一張矩形紙片中，，，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)解決下列問題：

（1）如圖①，折痕為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在上，求證：四邊形是正方形；

（2）如圖②，、分別為、的中點(diǎn)，把矩形紙片沿著剪開，變成兩張矩形紙片，將兩張紙片任意疊合后（如圖③），判斷重疊四邊形的形狀，并證明；

（3）在（2）中，重疊四邊形的周長(zhǎng)是否存在最大值或最小值？若存在，請(qǐng)求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形，證明見解析；（3）最小值12cm；最大值20cm.

【解析】

（1）根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形判定即可；

（2）根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可；

（3）根據(jù)垂線段最短和角與正弦值的關(guān)系判定即可.

解:（1）∵四邊形是矩形，

∴

由折疊的性質(zhì)可知，，.

∴四邊形是正方形；

（2）重疊四邊形是菱形

證明：如圖①，

∵剪開的兩個(gè)紙片都是矩形，則重疊四邊形的對(duì)邊互相平行，

∴四邊形是平行四邊形.

圖①

過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

又∵，.

∴，

∴四邊形是菱形

（3）根據(jù)垂線段最短，故當(dāng)兩個(gè)矩形紙片互相垂直放置時(shí)（如圖②），這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最小為.

根據(jù)其中HN為定值，當(dāng)∠HPN越小，PN就越大，故當(dāng)兩個(gè)矩形紙片按如圖③所示放置時(shí)，重疊部分的菱形周長(zhǎng)最大.

圖② 圖③

設(shè)，則.

在中，，

解得.

則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最大為.