Question

【題目】已知，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A．

(1)作，垂足為D，連結(jié)CD，在圖①中補(bǔ)全圖形，猜想的度數(shù)并證明；

(2)在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)， 時(shí)，直接寫出DC的長．

Answer 1

【答案】（1）=，理由見解析；（2）或

【解析】

(１)如圖作，垂足為D，連結(jié)CD，連接AB，因?yàn)?/span>，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弦所對的圓周角相等，即可完成證明;

(2) 過D點(diǎn)作AC延長線的垂線，垂足為E;對MN與CB或MN與CB的延長線是否有交點(diǎn)進(jìn)行分類討論.然后運(yùn)用四點(diǎn)共圓,圓周角定理以及勾股定理得知識(shí)解答即可.

解：（1）=，理由如下：

如圖作，垂足為D，連結(jié)CD，連接AB，

∵

∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，

又∵，都是弦AC所對的圓周角

∴=

（2）①如圖：過D點(diǎn)作AC延長線的垂線，垂足為E

∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且∠BAD,∠BCD都是弦BD所對的圓周角

∴∠BAD=∠BCD=30°

又∵BD⊥MN，BD=

∴AB=2

在等腰直角三角形中，有勾股定理可得：AC=BC=2

在直角三角形ADB中，由勾股定理可得：AD=

又∵DE⊥AE

∴BC∥ED

∴∠CDE=∠BCD=30°

∴CD=2CE

設(shè)CE=x，CD=2x，由勾股定理得：ED=x

在直角三角形AED中，AE=2+x，ED=x,AD=

由勾股定理得：

解得x= 或（舍去）

所以CD=2CE=2x=

②如圖：同理可得：CD=