Question

12．如圖，AO=BO=2，∠AOB=90°，△A′、C、D分別與點(diǎn)A重合，在邊BO上、在邊BO的延長線上，且A′C=A′D=$\sqrt{5}$，將△A′CD沿射線OB平移，設(shè)平移距離為x（其中0＜x＜3），平移后的圖形與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）求tanD的值；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）勾股定理求出OD，再根據(jù)正切函數(shù)定義可得；
（2）分0＜x≤1和1＜x＜3兩種情況，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，設(shè)A′C與AB相交于點(diǎn)P，作PQ⊥BO于點(diǎn)Q，設(shè)A′D與AB相交于點(diǎn)M，與AO相交于點(diǎn)N，作MR⊥AO于點(diǎn)R，設(shè)PQ=h，MR=h′，解直角三角形分別得出CQ=$\frac{1}{2}$h、AR=h′、RN=MRtan∠RMN=h′tan（90°-∠MNR）=h′tan（90°-∠DNO）=h′tanD=2h′，由PQ=BQtanB=BQ即h=（1-x）+$\frac{1}{2}$h，得h=2（1-x），AN=AO-ON=2-ODtanD=2-2（1-x）=2x及AR+RN=AN得h′=$\frac{2}{3}$x，最后根據(jù)S=S_△ABO-S_△PBC-S_△AMN可得函數(shù)解析式；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，設(shè)A′D與AB相交于點(diǎn)P，作PQ⊥BO于點(diǎn)Q，同理得BQ=PQ即3-x=h+$\frac{1}{2}$h，得h=$\frac{2}{3}$（3-x），根據(jù)三角形面積公式可得此時(shí)函數(shù)解析式．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠AOB=90°，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{5-{2}^{2}}$=1，
∴tanD=$\frac{AO}{OD}$=$\frac{2}{1}$=2；

（2）如圖1，同理，OC=1，tan∠A′CD=2，tan∠BAO=tanB=1，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，如圖2，

設(shè)A′C與AB相交于點(diǎn)P，作PQ⊥BO于點(diǎn)Q，設(shè)A′D與AB相交于點(diǎn)M，與AO相交于點(diǎn)N，作MR⊥AO于點(diǎn)R，
設(shè)PQ=h，MR=h′，
在Rt△PCQ中，PQ=CQtan∠PCQ，得CQ=$\frac{1}{2}$h，
在Rt△PBQ中，PQ=BQtanB=BQ，即h=（1-x）+$\frac{1}{2}$h，得h=2（1-x），
在Rt△AMR中，MR=ARtan∠BAO=AR，即AR=h′，
在Rt△MNR中，RN=MRtan∠RMN=h′tan（90°-∠MNR）=h′tan（90°-∠DNO）=h′tanD=2h′，
∵AN=AO-ON=2-ODtanD=2-2（1-x）=2x，
AR+RN=AN，即h′+2h′=2x，得h′=$\frac{2}{3}$x，
∴S=S_△ABO-S_△PBC-S_△AMN
=$\frac{1}{2}$AO×BO-$\frac{1}{2}$BC×PQ-$\frac{1}{2}$AN×MR
=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×（1-x）×2（1-x）-$\frac{1}{2}$×2x×$\frac{2}{3}$x
=-$\frac{5}{3}$x²+2x+1；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，如圖3，設(shè)A′D與AB相交于點(diǎn)P，作PQ⊥BO于點(diǎn)Q，

設(shè)PQ=h，同理得BQ=PQ，
∴3-x=h+$\frac{1}{2}$h，
得h=$\frac{2}{3}$（3-x），
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}{x}^{2}+2x+1}&{（0＜x≤1）}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-2x+3}&{（1＜x＜3）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形和解方程的能力求出所需線段的長度及割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．