Question

17．如圖，用長120cm的木條制成如圖形狀的矩形框（矩形框中間有一橫檔）．設矩形框的寬AB為x（cm），所圍成的面積為S（cm²）．
（1）求S關于x的函數(shù)表達解析式和自變量x的取值范圍；
（2）要使矩形框的面積為594cm²，則AB的長為多少；
（3）能圍成面積比594cm²更大的矩形框嗎？如果能，求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=x且木條的總長為120cm得出BC=$\frac{120-3x}{2}$cm，根據(jù)矩形的面積公式可得函數(shù)解析式，由AB＞0且BC＞0可得x的范圍；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，令S=594列出關于x的方程求解可得；
（3）將（1）中函數(shù)解析式配方成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值．

解答 解：（1）當AB=xcm時，BC=$\frac{120-3x}{2}$cm，
∴S=x•$\frac{120-3x}{2}$=-$\frac{3}{2}$x²+60x，
∵$\frac{120-3x}{2}$＞0，且x＞0，
∴0＜x＜40；

（2）根據(jù)題意，得：-$\frac{3}{2}$x²+60x=594，
解得：x=22或x=18，
答：要使矩形框的面積為594cm²，則AB的長為22cm或18cm；

（3）∵S=-$\frac{3}{2}$x²+60x=-$\frac{3}{2}$（x-20）²+600，
∴當x=20時，S取得最大值，最大值為600cm²，
故能圍成面積比594cm²更大的矩形框，當AB=20cm、BC=30cm時，窗框的面積最大，最大面積為600cm²．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用與一元二次方程的應用，根據(jù)題意得出BC的長是解題的根本，由矩形的面積公式得出函數(shù)解析式及一元二次方程是解題的關鍵．